Passare da integrale a normale, in modi diversi?

Sono entrambe derivanti dalla teoria integrale Riemanniana, particolarmente dal Teorema di Torricelli-Barrow, secondo cui: sia $f$ è una funzione continua su un intervallo $[a, b]$ e $F$ una sua anti-derivata su $[a, b]$, allora
\[\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\,.\]

Nell'ambito applicativo, rispetto ai metodi che hai mostrato, la scelta dipende da ciò che si vuol calcolare. Nel primo caso il metodo applicato è quello più rigoroso e funzionale, in quanto si deve calcolare direttamente la derivata della funzione integrale. Nel secondo caso, il cui svolgimento è parziale, è stato "brutalmente" applicato il teorema, in base a opportune ipotesi previste dalla teoria Riemanniana.

Scriviamo la derivata di una generica funzione integrale con estremi variabili, avendo in mente la regola di derivazione delle funzioni composte (chain rule)

Se

$ F(x) = \int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt$

allora

$F'(x) = f(g(x))\cdot D(g(x)) - f(h(x))\cdot D(h(x))$

ho usato i due simboli diversi di derivata " ' e D" come dal tuo esempio

Nel caso, alquanto comune, che h(x) sia una costante, cioè D(h(x)) = 0 si ha

$F'(x) = f(g(x))\cdot D(g(x))$

e questo il caso del primo esercizio, dove compare una D(x^2)

Nel caso, ancor più comune che, g(x) = x e, h(x) = costante avremo la ben nota

$F'(x) = f(x) \cdot D(x) = f(x)$ 

e questo è quanto riportato nel secondo esercizio dove D(x) non compare esplicitamente ma è del tutto presente.

d/dx (F[g(x)] - F(a)) = F[g(x)]*g'(x)

per la regola di derivazione delle funzioni composte e per definizione di primitiva.