Disequazione di secondo grado letterale, 2 anno liceo scientifico

Partiamo dal caso a = 3 - ci riduciamo a

6x + 6 > 0 => x > -1

e da qui in poi é sempre di secondo grado

D = 4a^2 - 4(a - 3)(a + 3) = 4a^2 - 4a^2 + 36 = 36 > 0 per ogni a

Le radici sono sempre reali e distinte ma la scelta degli intervalli soluzione

dipende dal segno di A

a < 3 oppure a > 3

x1,2 = (-a +- 3)/(a - 3) = -1 V (a + 3)/(3 -a )

Sai proseguire ?

\[(a - 3)x^2 + 2ax + a + 3 > 0 \mid (a - 3) = \alpha\,, a + 3 = \beta \implies\]

\[\Delta = 4a^2 - 4\alpha \beta = 4a^2 - 4a^2 + 36 = 36 > 0 \implies \; \text{ammette radici reali}\,.\]

E' immediato verificare che la soluzione della disequazione e le radici reali dipenderanno dal valore di $\alpha = a - 3\,$.

Poiché

\[(a - 3)x^2 + 2ax + a + 3 = 0 \iff x \in \left\{x \mid x \in \mathbb{R},\, x = -1 \lor x = \frac{a+3}{3-a}\right\}\,,\]

quindi:

Per $a < 3$

\[-1 < x < \frac{a+3}{3-a}\,.\]

Per $a = 3$

\[6x + 6 > 0 \iff x > - 1\,.\]

Per $a > 3$

\[x < \frac{a+3}{3-a} \lor x > -1\,.\]

Tali soluzioni sono calcolabili tramite metodo geometrico-grafico, ovvero graficando la parabola al variare del parametro $\alpha \propto a\,$, oppure algebricamente.

Come si fa la discussione
Ciascuno a modo suo, ovviamente! Ognuno di noi ha le proprie idiosincrasie, è umano.
Io sono affezionato alla strategia "Dìvide et ìmpera" e, per me, la discussione si fa per distinzione di casi.
A) a = 3: 285 ≡ x + 1 > 0 ≡ x > - 1
B) a != 3: 285 ≡ x^2 + 2*(a/(a - 3))*x + (a + 3)/(a - 3) > 0 ≡
≡ (x + a/(a - 3))^2 - (a/(a - 3))^2 + (a + 3)/(a - 3) > 0 ≡
≡ (x + a/(a - 3))^2 - (3/(a - 3))^2 > 0 ≡
≡ (x + a/(a - 3) + 3/(a - 3))*(x + a/(a - 3) - 3/(a - 3)) > 0 ≡
≡ (x + (a + 3)/(a - 3))*(x + 1) > 0 ≡
≡ (x + (a + 3)/(a - 3) < 0) & (x + 1 < 0) oppure (x + (a + 3)/(a - 3) > 0) & (x + 1 > 0) ≡
≡ (x < - (a + 3)/(a - 3)) & (x < - 1) oppure (x > - (a + 3)/(a - 3)) & (x > - 1) ≡
≡ (a < 3) & (x < - 1) oppure (a > 3) & (x < - (a + 3)/(a - 3)) oppure (a < 3) & (x > - (a + 3)/(a - 3)) oppure (a > 3) & (x > - 1) ≡
≡ (a < 3) & (- (a + 3)/(a - 3) < x < - 1) oppure (a > 3) & (- 1 < x < - (a + 3)/(a - 3))
Conclusione
* (a < 3) & (- (a + 3)/(a - 3) < x < - 1)
* (a = 3) & (x > - 1)
* (a > 3) & (- 1 < x < - (a + 3)/(a - 3))