[Risolto] parobola

@stefagnagaga

Parabola con asse // asse x

 

Definizione di parabola:

La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso F, detto fuoco, e da una retta d, detta direttrice. 

 

Nel nostro caso la retta direttrice è orizzontale e la parabola ha asse di simmetria // asse x. 

La generica equazione della parabola con asse // asse x è:

x= ay² + by + c , a≠0

 

Con: Δ= b² - 4*a*c

 

Nel nostro caso, sostituendo i valori numerici, otteniamo:

 

Δ= - 8

V= (2, 1)

F= (9/4 , 1)

Asse: y=1

 

Intersezioni con gli assi:

1) asse x: y=0 ==> x=3

2) asse y: x=0 ==> y²-2y+3 = 0  mai. Δ<0

     Nessuna intersezione

x=y^2-2y+3

parabola ad asse orizzontale

a=1>0 volge la concavità a destra

b=-2

c=3

y=-b/(2a) asse della parabola sopra asse delle x (segni di a e di b discordi)

Quindi y=1

Interseca asse delle x in P(3,0) dettato da c.

Δ = b^2 - 4·a·c-----> Δ = (-2)^2 - 4·1·3 = -8 <0

Non interseca asse delle y.

Yv= 1 ; Xv=- Δ/(4a)=8/4 =2-------> V(2,1)

YF=1; XF=(1-Δ)/(4a)=(1+8)/4=9/4------> F(9/4,1)

Se nell'equazione di una conica manca il termine rettangolare in "x*y" allora il suo grafico ha assi paralleli a quelli coordinati.
Se l'equazione di una conica è riducibile alla forma
* (u*x + v*y)^2 + a*x + b*y + c = 0
allora il suo grafico è una parabola.
Se valgono entrambe le condizioni, come in questo caso, allora l'equazione è riducibile alla forma esplicita nella variabile al cui asse è parallelo l'asse di simmetria; forma che, per completamento di quadrato, consentirà di leggere le proprietà geometriche della parabola Γ definita. In questo caso
* Γ ≡ x = w + a*(y - h)^2
da cui si trovano
* apertura a != 0
* concavità rivolta verso x > 0 se a > 0 e viceversa
* vertice V(w, h)
* lunghezza focale f = |VF| = |Vd| = 1/(4*|a|)
* direttrice d ≡ x = w - 1/(4*a)
* fuoco F(w + 1/(4*a), h)
* asse di simmetria VF ≡ y = h
Il tracciamento di Γ, per coppie di punti simmetrici rispetto all'asse, si fa fissando x partendo dall'ascissa w del vertice a passi di una lunghezza focale nel verso della concavità e risolvendo per i due valori di y.
* w + k/(4*a) = w + a*(y - h)^2 ≡
≡ y = h ± √k/(2*a)
------------------------------
ESEMPIO
* x = y^2 - 2*y + 3 = (y - 1)^2 - 1^2 + 3 ≡
≡ Γ ≡ x = 2 + 1*(y - 1)^2
quindi la parabola Γ ha
* apertura a = 1 > 0
* concavità rivolta verso x > 0
* vertice V(2, 1)
* lunghezza focale f = |VF| = |Vd| = 1/4
* direttrice d ≡ x = 7/4
* fuoco F(9/4, 1)
* asse di simmetria VF ≡ y = 1
Un ragionevole insieme di coppie di punti PQ
* {2 + k/4, 1 - √k/2} | {2 + k/4, 1 + √k/2}
da tracciare in un riferimento Oxy può essere quella al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5B%7B%7B2%2Bk%2F4%2C1-%E2%88%9Ak%2F2%7D%2C%7B2%2Bk%2F4%2C1%2B%E2%88%9Ak%2F2%7D%7D%2C%7Bk%2C0%2C9%7D%5D