[Risolto] Parabole

@amarena

Ciao. Una foto dritta almeno!

Scriviamo le due parabole in forma implicita mettendo in evidenza le due generatrici p e p’ del fascio

p:   y-x^2+2x-4=0 

p’: y+x^2-2=0

Combiniamole  linearmente:  y - x^2 + 2·x - 4 + k·(y + x^2 - 2) = 0

x^2·(k - 1) + 2·x + y·(k + 1) - 2·k - 4 = 0 e risolviamo rispetto ad y:

 y = x^2·(1 - k)/(k + 1) - 2·x/(k + 1) + 2·(k + 2)/(k + 1)

con

a=(1-k)/(k+1)

b=-2/(k+1)

c=2·(k + 2)/(k + 1)

parabola del fascio passante per l’origine: c=0

2·(k + 2)/(k + 1) = 0--------> k = -2

Quindi:    y = x^2·(1 - -2)/(-2 + 1) - 2·x/(-2 + 1) --------> y = 2·x - 3·x^2

Parabola del fascio avente vertice in x=1/4 : -b/(2*a)=1/4  (il vertice sta sull’asse della parabola)

2/(k + 1)/(2·(1 - k)/(k + 1))=1/4   ------->1/(1 - k) =1/4   -------->k = -3

Quindi:

y = x^2·(1 – (-3))/(-3 + 1) - 2·x/(-3 + 1) + 2·(-3 + 2)/(-3 + 1)

y = - 2·x^2 + x + 1

tangente alla retta di equazione y=-2x+4

Questo punto lo lascio a te. Adesso sono stanco!

Riprendo: non mi piace lasciare le cose in sospeso.

Metto a sistema:

{y = - 2·x + 4

{y = x^2·(1 - k)/(k + 1) - 2·x/(k + 1) + 2·(k + 2)/(k + 1)

Quindi risolvo con sostituzione:

- 2·x + 4 = x^2·(1 - k)/(k + 1) - 2·x/(k + 1) + 2·(k + 2)/(k + 1)

x^2·(1 - k)/(k + 1) - 2·x/(k + 1) + 2·(k + 2)/(k + 1) + 2·x - 4 = 0

ottengo una equazione parametrica in k di 2° grado:

x^2·(1 - k)/(k + 1) + 2·k·x/(k + 1) - 2·k/(k + 1) = 0

impongo la condizione di tangenza:

Δ/4 = 0

(k/(k + 1))^2 + (1 - k)/(k + 1)·(2·k/(k + 1)) = 0

k·(2 - k)/(k + 1)^2 = 0

k = 2 ∨ k = 0

Quindi due parabole del fascio sono tangenti alla retta data:

y = x^2·(1 - 2)/(2 + 1) - 2·x/(2 + 1) + 2·(2 + 2)/(2 + 1)

y = - x^2/3 - 2·x/3 + 8/3

y = x^2·(1 - 0)/(0 + 1) - 2·x/(0 + 1) + 2·(0 + 2)/(0 + 1)

y = x^2 - 2·x + 4

Le mie vertebre cervicali hanno quasi 82 anni e sono un po' rigide; il mio browser apre le immagini, ma non le ruota: non posso leggere il tuo allegato messo di traverso.