[Risolto] Parabole e tangenti

@oya-p

Ciao e benvenuto/a.

La parabola incognita, dovendo essere tangente all'asse delle x in un suo punto x=b (da determinare) deve avere equazione:

y = a·(x - b)^2

Il punto di tangenza A si determina a partire dalla retta assegnata:

2·x + y - 8 = 0 in x=6

2·6 + y - 8 = 0----------> y = -4------>A(6,-4)

La parabola ha equazione:

y = a·x^2 - 2·a·b·x + a·b^2

Per essa si possono scrivere le formule di sdoppiamento:

(y - 4)/2 = a·6·x - 2·a·b·(x + 6)/2 + a·b^2

Risolvo l'equazione della retta tangente in y (la esplicito!)

y = 8 - 2·x

Risolvo l'equazione precedente in y :

y = 2·a·x·(6 - b) + 2·(a·b·(b - 6) + 2)

Opero un confronto fra i coefficienti ottenuti nelle due ultime equazioni lineari trovate:

{2·(a·b·(b - 6) + 2) = 8

{2·a·(6 - b) = -2

Risolvo per sostituzione il sistema :

{2·a·b^2 - 12·a·b + 4 = 8

{12·a - 2·a·b = -2

Quindi:

a = 1/(b - 6)------> 2·(1/(b - 6))·b^2 - 12·(1/(b - 6))·b + 4 = 8

2·b + 4 = 8------> b = 2

a = 1/(2 - 6)-------> a = - 1/4

Quindi l'equazione cercata:

y = (- 1/4)·(x - 2)^2---------> y = - x^2/4 + x - 1

 

 

In mancanza delle formule di sdoppiamento, perché potevi anche non conoscerle, proseguivi con il metodo classico.......

Qui bisogna avere molta attenzione. Il ragionamento è il seguente:

Partiamo dal principio che la parabola cercata sia: y = a·(x - b)^2

Vediamo di eliminare uno dei due parametri a o b imponendo il passaggio per A(6,-4)

-4 = a·(6 - b)^2------------> a = - 4/(b - 6)^2  C.E.    b ≠ 6 

Mettevi quindi a sistema la parabola contenente un solo parametro e la retta:

{y = (- 4/(b - 6)^2)·(x - b)^2

{y = 8 - 2·x

Procedevi con la sostituzione:

8 - 2·x = (- 4/(b - 6)^2)·(x - b)^2

(8 - 2·x)·(b - 6)^2 = - 4·(x - b)^2

8·(b - 6)^2 - 2·x·(b - 6)^2 = - 4·x^2 + 8·b·x - 4·b^2

8·(b - 6)^2 - 2·x·(b - 6)^2 - (- 4·x^2 + 8·b·x - 4·b^2) = 0

Imponevi la condizione di tangenza sull'equazione di 2° grado parametrica in b:

4·x^2 - 2·x·(b^2 - 8·b + 36) + 12·(b^2 - 8·b + 24) = 0 (stai attento ai calcoli!)

Δ/4 = 0

(b^2 - 8·b + 36)^2 - 48·(b^2 - 8·b + 24) = 0

b^4 - 16·b^3 + 88·b^2 - 192·b + 144 = 0

(b - 2)^2·(b - 6)^2 = 0

b = 6 ∨ b = 2

La prima la devi scartare!

Ecco quindi che ti ritrovi: b=2

a = - 4/(2 - 6)^2------> a = - 1/4

Ciao