PARABOLA CON IL METODO DEI FASCI.

Ciao, i punti forniti dal problema non sono che gli zeri della funzione quadratica, quindi puoi scriverla nella forma:

$$ y=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) $$

$$ y=a\left(x+1\right)\left(x-2\right) $$

Per trovare le coordinate del vertice procediamo così: l'ascissa si trova nel punto medio tra gli zeri, quindi

$$ x_{V}=\frac{-1+2}{2}=\frac12 $$

l'ordinata la trovi dall'area del triangolo, infatti se la base coincide con l'asse delle ascisse l'altezza corrisponderà all'ordinata del vertice:

$$ b_{triangolo}=\left|1+2\right|=3 $$

$$ h_{triangolo}=\frac{2A}{b_{triangolo}}=\frac{2\cdot\frac{27}{4}}{3}=\frac{\frac{27}{2}}{3}=\frac92 $$

quindi le coordinate dei due vertici, poiché le parabole che hanno gli zeri nei punti forniti e formano un triangolo con il vertice di area 27/4 sono due, nonché simmetriche.

Ora non basta che sostituire le coordinate dei due vertici per trovare i due valori di a:

$$ V_1\left(\frac12;\frac92\right)\lor V_2\left(\frac12;-\frac92\right) $$

$$ \frac92=a\left(\frac12+1\right)\left(\frac12-2\right) $$

$$ a=-2 $$ quindi la parabola ha equazione:

$$ y=-2\left(x+1\right)\left(x-2\right) $$

l'altra parabola:

$$ -\frac92=a\left(\frac12+1\right)\left(\frac12-2\right) $$

$$ a=2 $$ quindi la parabola ha equazione:

$$ y=2\left(x+1\right)\left(x-2\right) $$

===

Pertanto le due parabole hanno equazione:

$$ y=-2\left(x+1\right)\left(x-2\right) $$

$$ y=2\left(x+1\right)\left(x-2\right) $$