PARABOLA CON IL METODO DEI FASCI.

Ciao, il procedimento con il sistema in tre incognite a, b, c e la condizione di tangenza:

la parabola generica di equazione $$ y=ax^2+bx+c $$, sostituendo i punti ricavo il sistema:

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$$ -1=a-b+c $$

$$ 1=a+b+c $$

$$ y=ax^2+bx+c $$

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$$ -a+b-c=a+b+c $$

$$ a=-c $$

$$ 1=-c+b+c $$

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$$ a=-c $$

$$ b=1 $$

$$ y=-cx^2+x+c $$

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risolvendo il discriminante nullo nella equazione risolvente il sistema tra la parabola e quella a cui è tangente:

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$$ y=-cx^2+x+c $$

$$ y=x^2+x+2 $$

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$$ -cx^2+x+c=x^2+x+2 $$

$$ x^2\left(c+1\right)+2-c=0 $$

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$$ \Delta=0 $$

$$ 0-4\left(c+1\right)\left(2-c\right)=0 $$

$$ c^2-c-2=0 $$

$$ c=2\lor c=-1 $$

c=-1 non accettabile poiché rappresenta una parabola passante per i due punti dati ma non tangente alla parabola data, c=2 accettabile

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Quindi:

$$ a=-2 $$

$$ b=1 $$

$$ c=2 $$

Pertanto l'equazione della parabola è:

$$ y=-2x^2+x+2 $$

a.  Equazione del fascio Γ(k) passante per A(-1,-1) e B(1,1)

• retta AB. ⇒ y = x 
• parabola degenere passante per A(-1,-1) e B(1,1). ⇒ (x+1)(x-1) = y = x²-1
• equazione del fascio Γ(k).

$ y = x + k(x^2-1)$

.

b.  tangente con la parabola y = x²+x+2 

Si tratta di trovare il valore di k tale che la soluzione del sistema sia unica con molteplicità 2. Risolviamo il sistema composto dalle parabole del fascio e dalla parabola data

$\left\{\begin{aligned} y &= x + k(x^2-1) \\ y &= x^2+x+2 \end{aligned} \right.$ 

Per confronto si ottiene

$kx^2 +x - k = x^2 + x + 2$

$ x^2 = \frac {-(k+2)}{1-k}$

$ x = \pm \sqrt{\frac {-(k+2)}{1-k}}$

Per avere una unica soluzione è necessario che il radicando sia nullo

$  \frac {-(k+2)}{1-k} = 0   \quad \implies \quad k = -2$

quindi la nostra parabola è

$ Γ(-2): y = -2x^2 +x+2$