[Risolto] Parabola

Non è che per caso stai facendo un compito in classe?

Riprendo essendo passata un'ora dalla tua richiesta.

L'equidistanza del punto generico P(x,y) appartenente alla parabola porta a scrivere l'equazione:

√((x - 1)^2 + y^2) = ABS(2·x + y + 3)/√(2^2 + 1^2)

√(x^2 - 2·x + y^2 + 1) = √5·ABS(2·x + y + 3)/5

elevando al quadrato:

x^2 - 2·x + y^2 + 1 = (2·x + y + 3)^2/5

x^2 - 2·x + y^2 + 1 = (4·x^2 + 4·x·y + 12·x + y^2 + 6·y + 9)/5

quindi ordinando si ottiene l'equazione implicita della parabola ad asse obliquo:

x^2 - 4·x·y + 4·y^2 - 22·x - 6·y - 4 = 0

dall'equazione della direttrice: y = - 2·x - 3------> m = -2

determiniamo l'asse della parabola ad essa perpendicolare, passante per il fuoco e di coefficiente angolare m = 1/2

y - 0 = 1/2·(x - 1)--------> y = x/2 - 1/2

Il vertice della parabola si ottiene tramite sistema:

{x^2 - 4·x·y + 4·y^2 - 22·x - 6·y - 4 = 0

{y = x/2 - 1/2

che risolviamo tramite sostituzione:

x^2 - 4·x·(x/2 - 1/2) + 4·(x/2 - 1/2)^2 - 22·x - 6·(x/2 - 1/2) - 4 = 0

x^2 - 2·x·(x - 1) + (x - 1)^2 - 22·x - 3·(x - 1) - 4 = 0

- 25·x = 0----> x = 0  quindi y=-1/2 dalla seconda del sistema V(0,-1/2)

 

 

 

In questo caso si deve applicare la definizione 

a) il punto P(x,y) deve avere uguale distanza da r e da A 

 

(|2x + y+ 3|)^2/(4 + 1) = (x - 1)^2 + y^2

(2x + y + 3)^2 = 5(x^2 + y^2 - 2x + 1)

4x^2 + y^2 + 9 + 12x + 6y + 4xy = 5x^2 + 5y^2 - 10x + 5

x^2 - 4xy + 4y^2 - 22x - 6y - 4 = 0

 

b) Determiniamo l'equazione dell'asse prendendo la perpendicolare

alla direttrice   x - 2y + k = 0

passante per il fuoco A = (1, 0) 

 

1 - 0 + k = 0 =>   k = -1 

asse :  x - 2y - 1 = 0 =>   y = 1/2 x - 1/2 

 

Metti a sistema con l'equazione della parabola e ti usciranno le coordinate di V.

 

Se ho svolto bene i calcoli, sostituendo y = (x-1)/2   in

x^2 - 4xy + 4y^2 - 22x - 6y - 4 = 0

esce il vertice V = (0; -1/2).