Parabola

La parabola deve essere ad asse orizzontale in quanto ha due punti con la stessa ascissa.

Quindi è del tipo:

x = a·y^2 + b·y + c

Le costanti si determinano imponendo il passaggio per i tre punti assegnati:

{6 = a·0^2 + b·0 + c

{2 = a·1^2 + b·1 + c

{6 = a·5^2 + b·5 + c

Quindi, risolvendo il sistema:

{c = 6

{a + b + c = 2

{25·a + 5·b + c = 6

ottieni: [a = 1 ∧ b = -5 ∧ c = 6]

da cui la parabola: x = y^2 - 5·y + 6

{x = (y - 2)·(y - 3)

{x=0

quindi: (y - 2)·(y - 3) = 0-----> y = 3 ∨ y = 2 cioè i punti P e Q di figura

asse della parabola: y = - b/(2·a)-----> y = 5/2

Vertice di ascissa:

x = (5/2)^2 - 5·(5/2) + 6-----> x = - 1/4

@Andrea05

Sono costernato dal dovere esprimere, per la seconda volta in pochi giorni, un nettissimo disaccordo con i miei coresponsori e "amici di SoS" (come avrebbe detto Charlie Brown) @LucianoP e @StefanoPescetto
Se ti stai preparando per una verifica e se il tuo Consiglio di Classe ha deciso d'usare le regole d'esame anche nelle verifiche in itinere le loro risposte per quanto intuitivamente perfette violerebbero il divieto di porre ipotesi aggiuntive non esplicitamente richieste da un tema volutamente vago; se il testo non dice "... fatte le opportune ipotesi aggiuntive ..." c'è l'obbligo di leggerlo verbatim senza interpretare nulla.
Qui il testo reca "... determina l'equazione della parabola p passante per i tre punti assegnati ...", ma i coresponsori hanno premesso: Luciano "La parabola deve essere ad asse orizzontale in quanto ha due punti con la stessa ascissa."; Stefano "Passando per ..." che è del tutto equivalente.
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Un corretto "svolgimento da esame" invece, visto che il testo non indica l'orientamento, esige di partire dall'equazione della generica parabola Γ
* Γ ≡ (U*x + V*y)^2 + a*x + b*y + c = 0
e d'imporle i vincoli d'appartenenza dei "tre punti assegnati"
* A(6, 0): 36*U^2 + 6*a + c = 0
* B(2, 1): (2*U + V)^2 + 2*a + b + c = 0
* C(6, 5): (6*U + 5*V)^2 + 6*a + 5*b + c = 0
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Il sistema dei vincoli
* (36*U^2 + 6*a + c = 0) & ((2*U + V)^2 + 2*a + b + c = 0) & ((6*U + 5*V)^2 + 6*a + 5*b + c = 0) ≡
≡ (a = - (7*U^2 + (U + V)^2)) & (b = - (12*U + 5*V)*V) & (c = 6*(U^2 + (U + V)^2))
consente d'esprimere le parabole per i "tre punti assegnati" in funzione dei due soli parametri che esprimono l'orientamento dell'asse di simmetria e della concavità.
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* Γ(U, V) ≡ (U*x + V*y)^2 - (7*U^2 + (U + V)^2)*x - (12*U + 5*V)*V*y + 6*(U^2 + (U + V)^2) = 0 ≡
≡ (x^2 - 8*x + 12)*U^2 + 2*(x*y - x - 6*y + 6)*U*V + (y^2 - x - 5*y + 6)*V^2 = 0
da dove si vede che solo
* Γ(0, 1) ≡ x = y^2 - 5*y + 6
ma che, ad esempio, anche
* Γ(1, 1) ≡ (x + y)^2 - 11*x - 17*y + 30 = 0
* Γ(3, 1) ≡ (3*x + y)^2 - 79*x - 41*y + 150 = 0
sono circoscritte al triangolo ABC.
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx-6%3Dy%5E2-5*y%2C%28x--y%29%5E2-11*x-17*y%3D-30%2C%283*x--y%29%5E2-79*x-41*y%3D-150%5D
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TUTTAVIA QUESTO "svolgimento da esame" COMPORTA DUE SVANTAGGI PER TE: devi eseguire anche la seconda e la terza consegna, che sono più calcolose in questa versione che non in quella dei miei "amici di SoS".
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INTERSEZIONI CON GLI ASSI
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* (x = 0) & ((x^2 - 8*x + 12)*U^2 + 2*(x*y - x - 6*y + 6)*U*V + (y^2 - x - 5*y + 6)*V^2 = 0) ≡
≡ Y(0, (12*U + 5*V ± √(96*U^2 + 72*U*V + V^2))/(2*V)) & (V != 0)
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* (y = 0) & ((x^2 - 8*x + 12)*U^2 + 2*(x*y - x - 6*y + 6)*U*V + (y^2 - x - 5*y + 6)*V^2 = 0) ≡
≡ per (U = 0) & (V != 0): X0(6, 0)
≡ per (U != 0): X1(6, 0) oppure X2(1 + (U + V)^2/U^2, 0)
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DETERMINAZIONE DEL VERTICE
La quantità di dattilografia necessaria per scriverne le coordinate in funzione dei parametri (U, V) è assai oltre le mie capacità.
Ti dico come fare una volta che tu abbia scelto due valori numerici per (U, V).
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L'asse di simmetria è una retta del fascio
* s(q) ≡ y = q - (U/V)*x
e la tangente di vertice è quindi una retta del fascio
* t(h) ≡ y = h + (V/U)*x
Imporre che t(h) sia tangente Γ(U, V), cioè che h azzeri il discriminante della risolvente del loro sistema, identifica il vertice.