[Risolto] Parabola

@giorgiaborrelli

Ciao di nuovo.

Ex.480

y = a·x^2 + b·x + c

deve passare per i punti base:

{0 = a·(-3)^2 + b·(-3) + c

{3 = a·0^2 + b·0 + c

Quindi deve essere:

{9·a - 3·b + c = 0

{c = 3

Risolvo rispetto a b e c: [b = 3·a + 1 ∧ c = 3]

Quindi il fascio:

y = a·x^2 + (3·a + 1)·x + 3

Passaggio dal vertice:

-1 = a·(-2)^2 + (3·a + 1)·(-2) + 3

-1 = 1 - 2·a  ------------> a = 1------> y = 1·x^2 + (3·1 + 1)·x + 3

y = x^2 + 4·x + 3

Asse di simmetria: x = - 5/4   ( si ha x= -b/(2a))

- (3·a + 1)/(2·a) = - 5/4-----> a = -2

y = (-2)·x^2 + (3·(-2) + 1)·x + 3-------> y = - 2·x^2 - 5·x + 3

 

Ogni parabola Γ con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha equazione della forma
* Γ(a, w, h) ≡ y = h + a*(x - w)^2
---------------
I vincoli di passaggio per i punti base A(- 3, 0) e B(0, 3)
* (0 = h + a*(- 3 - w)^2) & (3 = h + a*(0 - w)^2) ≡
≡ (w = - (3*a + 1)/(2*a)) & (h = - (3*a - 1)^2/(4*a))
localizzando V sull'iperbole
* x^2 - 2*x*y + 6*x - 3*y + 9 = 0
definiscono il fascio descritto, parametrizzato dalla sola apertura
* Γ(a) ≡ y = a*(x + (3*a + 1)/(2*a))^2 - (3*a - 1)^2/(4*a) ≡
≡ Γ(a) ≡ y = (x + 3)*(a*x + 1)
---------------
a) vertice V(- 2, - 1)
* (- 2 = - (3*a + 1)/(2*a)) & (- 1 = - (3*a - 1)^2/(4*a)) ≡
≡ a = 1
* Γ(a) ≡ y = (x + 3)*(x + 1) ≡
≡ y = (x + 2)^2 - 1 ≡
≡ y = x^2 + 4*x + 3
---------------
b) x = - 5/4 come asse di simmetria
* w = - (3*a + 1)/(2*a) = - 5/4 ≡ a = - 2
* Γ(- 2) ≡ y = (x + 3)*(- 2*x + 1) ≡
≡ y = (49 - (4*x + 5)^2)/8 ≡
≡ y = - 2*x^2 - 5*x + 3