[Risolto] Parabola

@anna2004 

Ciao

Una parabola di equazione y=ax^2 ha fuoco nel punto F(0;5). Quanto vale il coefficiente a?

y=ax^2 è una parabola con vertice nell'origine.

Hai perciò:

b=c=0

Usando le formule delle coordinate del fuoco abbiamo:

X=-b/2a 

Y= (1-∆)/4a

Ora metti i valori di F

-b/2a=0 che conferma b=0

(1-∆)/4a=5

Che diventa

(1+4ac)/4a=5

essendo anche c=0 resta

1/4a=5

e infine 

1=20a da cui a=1/20 

La parabola
* Γ(a) ≡ y = a*x^2
ha vertice nell'origine e distanza focale
* f = 1/(4*|a|) ≡ |a| = 1/(4*f)
Il dato "ha fuoco nel punto F(0;5)", dice che f = 5 e che l'ordinata del fuoco è maggiore di quella del vertice, quindi che l'apertura è positiva.
L'insieme delle informazioni dà il risultato
* (|a| = 1/(4*f)) & (f = 5) & (a > 0) ≡ a = 1/20
quindi
* Γ ≡ y = x^2/20
Vedi il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plane+curve+y%3Dx%5E2%2F20

@anna2004 

yF = (1 - D)/(4a) = 5

con a =/= 0

1 - b^2 + 4ac = 20 a

Essendo b = c = 0

20 a = 1

a = 1/20.

Se il punto P si muove sulla parabola, risulta sempre equidistante dalla direttrice e dal fuoco. Prova a determinare in base alla definizione l'equazione della parabola!

Quindi devi dire che:

ABS(y + 5) = √(x^2 + (y - 5)^2)

Cioè: distanza di P dalla direttrice= distanza di P dal fuoco

Trattandosi di distanze, elevi al quadrato l'equazione:

(y + 5)^2 = x^2 + (y - 5)^2

y^2 + 10·y + 25 = x^2 + y^2 - 10·y + 25

risolvi facilmente ed ottieni:

y = x^2/20  (a=/20)