[Risolto] Parabola

• "l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y"

Ne consegue che l'equazione a cui dobbiamo fare riferimento è y=ax²+bx+c

• "avente fuoco in F (1/8 ; -2)"

dalle formula del fuoco ricaviamo:
-) xF = 1/8 = -b/2a ⇒ a = -4b

L'equazione si riduce alla forma y = -4bx²+bx+c

-) yF = -2 = (1-Δ)/4a ⇒ -8a = 1-Δ ⇒ 32b = 1-(b²-4ac) ⇒ 32b = 1 - b² +4(-4b)c ⇒

32b = 1 -  b² -16bc

16bc = 1-32b-b²

c = (1-32b-b²)/16b

L'equazione si riduce alla forma y = -4bx²+bx+(1-32b-b²)/16b

• "tangente alla retta di equazione 9x+y+6=0"

Determiniamo i punti di intersezione retta parabola è imponiamo che il discriminante dell'equazione sia nullo (la condizione di tangenza è che le due soluzioni siano coincidenti)

{y = -9x-6

{y = -4bx²+bx+(1-32b-b²)/16b

per confronto

-9x-6 = -4bx²+bx+(1-32b-b²)/16b

0 = -4bx²+(b+9)x+(1-32b-b²)/16b +6

0 = -4bx²+(b+9)x+(1+64b-b²)/16b 

Imponiamo la condizione di tangenza

Δ = 0

(b+9)²-4(-4b)(1+64b-b²)/(16b) = 0

(b+9)²+ (1+64b-b²) = 0

82(b+1)=0

b = -1 per cui

a = 4

c = -2

L'equazione della parabola è y = 4x²-x-2

L'equazione generale della parabola ha cinque parametri da determinare; però nel caso che l'asse di simmetria debba essere parallelo a un asse coordinato ne bastano solo tre:
* le coordinate del vertice V(w, h);
* l'apertura a != 0, da cui si deducono l'orientamento della concavità e le posizioni di fuoco e direttrice.
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L'equazione generale della parabola, nel sottocaso di asse parallelo all'asse y, è
* Γ(a, w, h) ≡ y = h + a*(x - w)^2
con pendenza
* m(x) = dy/dx = 2*a*(x - w)
e distanza focale
* f = 1/(4*|a|)
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Si ha
* a < 0 → concavità rivolta verso y < 0
* a > 0 → concavità rivolta verso y > 0
* fuoco F(w, h + 1/(4*a))
* direttrice d ≡ y = h - 1/(4*a)
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A parte la tangente di vertice y = h, la tangenza con una retta y = m*x + q (m != 0) si ottiene imponendo che si azzeri il discriminante della risolvente del sistema
* (y = m*x + q) & (y = h + a*(x - w)^2)
risolvente
* h + a*(x - w)^2 - (m*x + q) = 0
discriminante da annullare
* Δ = m^2 - 4*a*h + 4*a*m*w + 4*a*q = 0
da cui
* h = m^2/(4*a) + m*w + q
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NEL CASO IN ESAME
Dai dati
* fuoco F(1/8, - 2)
* tangente t ≡ 9*x + y + 6 = 0 ≡ y = - 9*x - 6
si deducono passo a passo le caratteristiche di Γ.
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Da
* fuoco F(w, h + 1/(4*a)) = (1/8, - 2)
si ha
* w = 1/8
* h = - (8*a + 1)/(4*a)
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Dalla tangenza con y = - 9*x - 6 si ha
* h = m^2/(4*a) + m*w + q =
= (- 9)^2/(4*a) + (- 9)*w - 6 =
= 81/(4*a) - 9 w - 6
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Eguagliando le due espressioni di h si ha
* 81/(4*a) - 9 w - 6 = - (8*a + 1)/(4*a) ≡ w = (41 - 8*a)/(18*a)
e da
* w = (41 - 8*a)/(18*a) = 1/8
si ha
* a = 4
* h = - 33/16
quindi
* Γ ≡ y = 4*(x - 1/8)^2 - 33/16
* (y = - 9*x - 6) & (y = 4*(x - 1/8)^2 - 33/16) ≡ T(- 1, 3)
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VERIFICHE
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plane+curve+y%3D4*%28x-1%2F8%29%5E2-33%2F16
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D-9*x-6%2Cy%3D4*%28x-1%2F8%29%5E2-33%2F16%5Dx%3D-2to2%2Cy%3D-6to5