Considera il fascio di parabole di equazione $y=k x^2-4 k x+3$; determina:
a. i punti base e le caratteristiche del fascio;
b. la parabola del fascio passante per il punto di coordlnate (I, I);
c. la parabola del fascio avente vertice sulla retta di equazione $y^{\prime}=-5$;
d. le parabole del fascio tangenti alla retta $y=2 x$.
11881
punti
Livello 2
y = k·x^2 - 4·k·x + 3
riscrivo:
k·x^2 - 4·k·x + 3 - y = 0
k·x·(x - 4) - y + 3 = 0
Punti base:
{x·(x - 4) = 0
{3 - y = 0
risolvo: [x = 0 ∧ y = 3, x = 4 ∧ y = 3]
2 punti base : [0, 3] e [4, 3]
parabole secanti
----------------------------
passa per [1, 1]
1 = k·1^2 - 4·k·1 + 3---> 1 = 3 - 3·k
k = 2/3
y = 2/3·x^2 - 4·(2/3)·x + 3---> y = 2·x^2/3 - 8·x/3 + 3
-------------------------------
Vertice: yV=-5
xV= - b/(2·a) = 4·k/(2·k) = 2
V[2, -5]
-5 = k·2^2 - 4·k·2 + 3---> -5 = 3 - 4·k--> k = 2
y = 2·x^2 - 4·2·x + 3---> y = 2·x^2 - 8·x + 3
----------------------------------
tangenti alla retta: y = 2·x
{y = k·x^2 - 4·k·x + 3
{y = 2·x
per sostituzione
k·x^2 - 4·k·x + 3 - 2·x = 0
k·x^2 - x·(4·k + 2) + 3 = 0
Δ/4 = 0
(- (2·k + 1))^2 - 3·k = 0
4·k^2 + k + 1 = 0
Δ = 1^2 - 4·4 = -15 < 0
Impossibile: non esistono parabole tangenti ad y = 2·x
115498
punti
Genius III
