[Risolto] PARABOLA

• Il coefficiente del termine x^2 è costante, cioè non dipende da k questo significa che tutte le parabole del fascio sono, in questo caso convesse, con apertura costante (a = 1).
• Riscriviamo l'equazione del fascio nella forma

$ Γ(k): y-x^2+1 + k(-2x-1)$ 

• Punti base

$\left \{\begin{aligned} y-x^2+1 &=0 \\ -2x-1 &=0 \end{aligned} \right.$

La cui unica soluzione è il punto $T(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4})$ 

Un unico punto base.

• Parabola per P(1,1)

Dopo aver attribuito alle x e alle y le coordinate di P(1,1), valutiamo quale valore di k rende vera l'equazione Γ(k) = 0 

$1-1+1 + k(-2-1) = 0 \quad \implies \quad k = \frac{1}{3}$

La parabola, in questo caso, avrà equazione 

$ y - x^2 +1 + (\frac{1}{3})(-2x-1) = 0 $

$ y = x^2 + \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} $ 

• Asse di simmetria. x = 3

Essendo

$x = \frac{-b}{2a} $ con a = 1 per cui $3 = \frac{-b}{2} $ quindi b = -6$

in tal caso il coefficiente della x deve valere -6

$ -2k = -6 \quad \implies \quad k = 3$ 

L'equazione della parabola 

$ y = x^2 - 6x - 4 = 0$

• Tangenti alla retta y = -1

Il sistema che ci da le intersezioni con la retta y = -1 è 

$\left \{\begin{aligned} y-x^2+1+k(-2x-1) &=0 \\ y &=-1 \end{aligned} \right.$

il discriminate dell'equazione di secondo grado nella variabile x vale

$ Δ = k(k-1)$

Imponiamo la tangenza ponendo Δ = 0

questo risultato si ottiene per k = 0 V k = 1

-) per k = 0 avremo y = x^2 - 1

-) per k = 1 avremo y = x^2 + 2x 

• parabola con vertice V(Vx,Vy) sulla bisettrice

-) Equazione bisettrice 1°-3° quadrante. y = x

-) Per giacere sulla bisettrice y = x si dovrà avere Vx = Vy cioè

$ -\frac {b}{2a} = -\frac {b^2-4ac}{4a}$

$ 2b = b^2-4ac$

nel nostro caso a = 1, b = -2k, c = -(k+1) per cui

$ 2(-2k) = (-2k)^2 + 4(k+1)$

$ 4k^2+8k+4 = 0$

$ (k+1)^2 = 0$

$ k = -1$

a cui corrisponde la parabola

$ y = x^2 +2x$

y = x^2 - 2·k·x - k - 1

le parabole del fascio sono verticali con la stessa apertura a = 1 che significa che sono tutte congruenti.

Riscrivo:

x^2 - 2·k·x - k - 1 - y = 0---> - k·(2·x + 1) + x^2 - y - 1 = 0

Risolvo:

{2·x + 1 = 0

{x^2 - y - 1 = 0

ottengo: [x = - 1/2 ∧ y = - 3/4]

quindi un unico punto base: [- 1/2, - 3/4]

------------------------------------------------

passante per [1,1]

1 = 1^2 - 2·k·1 - k - 1---> k = - 1/3

y = x^2 - 2·(- 1/3)·x - (- 1/3) - 1

y = x^2 + 2·x/3 - 2/3

---------------------------------------------

x = - b/(2·a) = 3

k = 3

y = x^2 - 2·3·x - 3 - 1---> y = x^2 - 6·x - 4

------------------------------------------------

{y = x^2 - 2·k·x - k - 1

{y = -1

per sostituzione: x^2 - 2·k·x - k - 1 = -1

x^2 - 2·k·x - k = 0

Δ/4 = 0 condizione di tangenza

(-k)^2 + k = 0---> k·(k + 1) = 0

k = -1 ∨ k = 0

y = x^2 - 2·(-1)·x - (-1) - 1

y = x^2 + 2·x

y = x^2 - 2·0·x - 0 - 1

y = x^2 - 1

----------------------------------------

y = x

V [- b/(2·a), - Δ/(4·a)]

y = x^2 - 2·k·x - k - 1

- (- 2·k)/(2·1) = - (k^2 + (k + 1))

k = - k^2 - k - 1---->  k = -1

y = x^2 - 2·(-1)·x - (-1) - 1

y = x^2 + 2·x

Considerazione
Il fascio
* Γ(k) ≡ y = x^2 - 2*k*x - k - 1 ≡ y = (x - k)^2 - (k^2 + k + 1)
consiste di parabole con assi di simmetria x = k paralleli all'asse y, congruenti (il coefficiente di x^2 non è parametrico, quindi tutte hanno la concavità rivolta verso y > 0), con vertici V(k, - (k^2 + k + 1)) che corrono sulla parabola
* y = - (x^2 + x + 1) ≡ y = - (k + 1/2)^2 - 3/4
Risposte ai quesiti
a1) Quali caratteristiche che non ho citato?
a2) Γ(0) & Γ(1) ≡ (y = x^2 - 1) & (y = x^2 - 2*x - 2) ≡
≡ (y = x^2 - 1) & (x^2 - 1 = x^2 - 2*x - 2) ≡
≡ B(- 1/2, - 3/4) punto base semplice
b) 1 = (1 - k)^2 - (k^2 + k + 1) ≡ k = - 1/3
* Γ(- 1/3) ≡ y = (x + 1/3)^2 - 7/9
c) asse di simmetria x = k = 3
* Γ(3) ≡ y = x^2 - 6*x - 4
d) V(k, - (k^2 + k + 1)) = (k, - 1) ≡ k ∈ {- 1, 0}
* Γ(- 1) ≡ y = x^2 + 2 x
* Γ(0) ≡ v. sub a2
e) V(k, - (k^2 + k + 1)) = (k, k) ≡ k = - 1
* Γ(- 1) ≡ v. sub d