[Risolto] PARABOLA

y = x^2 - 2·(k - 3)·x + 1

La riscrivo:

x^2 - 2·(k - 3)·x + 1 - y = 0

- 2·k·x + (x^2 + 6·x - y + 1) = 0

Quindi determino gli eventuali punti base dal sistema:

{- 2·x = 0

{x^2 + 6·x - y + 1 = 0

che risolto fornisce un solo punto base:

[x = 0 ∧ y = 1]

---------------------------------

y = 2·x^2 - 6·x + 1

ha asse di simmetria:

x = 6/(2·2)---> x = 3/2

Quindi con riferimento al fascio deve essere:

2·(k - 3)/2 = 3/2

risolvendo si ottiene: k = 9/2

--------------------------------------

y = x + 1

un suo generico punto:

[x, x + 1]

dal fascio: y = x^2 - 2·(k - 3)·x + 1

2·(k - 3)/2 = x = ascissa del vertice V

y = (2·(k - 3)/2)^2 - 2·(k - 3)·(2·(k - 3)/2) + 1 (ordinata del vertice V)

y = - k^2 + 6·k - 8

Deve quindi essere:

- k^2 + 6·k - 8 = 2·(k - 3)/2 + 1

Risolvendo si ottiene: k = 3 ∨ k = 2

----------------------------------------

{y = x^2 - 2·(k - 3)·x + 1

{y = 0

x^2 - 2·(k - 3)·x + 1 = 0

risolvo:

x = - √(k^2 - 6·k + 8) + k - 3 ∨ x = √(k^2 - 6·k + 8) + k - 3

Deve essere:

ABS(√(k^2 - 6·k + 8) + k - 3 - (- √(k^2 - 6·k + 8) + k - 3)) = 4

ABS(2·√(k^2 - 6·k + 8)) = 4

elevo al quadrato:

4·ABS(k^2 - 6·k + 8) = 16

ABS(k^2 - 6·k + 8) = 4

equivalente a:

k^2 - 6·k + 8 = 4 v k^2 - 6·k + 8 = - 4

k = 3 - √5 ∨ k = √5 + 3

La seconda non ammette soluzioni nel campo reale. Quindi la risposta all'ultima domanda è in grassetto.

Spiegazioni
1) Gli obiettivi
a) La parabola y = 2*x^2 - 6*x + 1 ≡ y = 2*(x - 3/2)^2 - 7/2 ha asse x = 3/2.
b) Tutti e soli i vertici V(v, v + 1) sono sulla y = x + 1.
c) Le parabole con zeri a distanza 4 hanno la forma y = a*(x - u)*(x - u - 4) ≡ y = a*x^2 - 2*a*(u + 2)*x + a*(u + 2)^2 - 4*a
2) Il fascio
Ogni parabola del fascio
* Γ(k) ≡ y = x^2 - 2*(k - 3)*x + 1 ≡ y = (x - (k - 3))^2 - (k - 3)^2 + 1
ha
* asse x = k - 3
* vertice V(k - 3, 1 - (k - 3)^2)
* apertura a = 1
e passa per l'unico punto base individuato dal sistema di due qualsiasi di esse
* Γ(0) & Γ(3) ≡ (y = x^2 + 6*x + 1) & (y = x^2 + 1) ≡ B(0, 1)
3) I passaggi
a) k - 3 = 3/2 ≡ k = 9/2
b) V(k - 3, 1 - (k - 3)^2) = V(v, v + 1) ≡
≡ (v = - 1) & (k = 2) oppure (v = 0) & (k = 3)
c) y = x^2 - 2*(k - 3)*x + 1 ≡ y = a*x^2 - 2*a*(u + 2)*x + a*(u + 2)^2 - 4*a ≡
≡ (a = 1) & (2*a*(u + 2) = 2*(k - 3)) & (a*(u + 2)^2 - 4*a = 1) ≡
≡ (u = - 2 - √5) & (k = 3 - √5) oppure (u = - 2 + √5) & (k = 3 + √5)