[Risolto] Ellisse

Dall’equazione della retta ricavi le coordinate del punto di tangenza T.

Tale punto appartiene anche all’ellisse: sostituisci tali coordinate nell’equazione dell’ellisse ottenendo una prima equazione nelle incognite a^2 e b^2.

Metti a sistema l’ellisse e la retta data: procedi con il metodo della sostituzione. Ottieni una equazione di secondo grado in una incognita (x oppure y) nei parametri a^2 e b^2. Imponi la condizione di tangenza in termini di a^2 e di b^2:quest’ultima condizione, assieme a quella ottenuta in precedenza costituisce un sistema che dovrebbe permetterti di ottenere a^2 e b^2. Prova.

Ti fornisco quanto su ho detto con la risoluzione del problema proposto.

Punto di tangenza T

{x + 6·√2·y - 9 = 0

{x = 1

risolvo ed ottengo: [x = 1 ∧ y = 2·√2/3]

[1, 2·√2/3] punto T

Ellisse: x^2/α + y^2/β = 1

con α = a^2 e β = b^2

1^2/α + (2·√2/3)^2/β = 1

quindi: 1/α + 8/(9·β) = 1 prima condizione

La seconda condizione la ottengo con

{x^2/α + y^2/β = 1

{x + 6·√2·y - 9 = 0

risolvo per sostituzione:

x = 9 - 6·√2·y

(9 - 6·√2·y)^2/α + y^2/β = 1

arrivo a scrivere:

(y^2·(α + 72·β) - 108·√2·β·y - α·β + 81·β)/(α·β) = 0

quindi ottengo:

y^2·(α + 72·β) - 108·√2·β·y - α·β + 81·β = 0

condizione di tangenza: Δ/4 = 0

(54·√2·β)^2 - (α + 72·β)·(81·β - α·β) = 0

α^2·β + 72·α·β^2 - 81·α·β = 0  seconda condizione

le metto a sistema:

{1/α + 8/(9·β) = 1

{α^2·β + 72·α·β^2 - 81·α·β = 0

Lo risolvo ottenendo:

[α = 9 ∧ β = 1]

che fornisce soluzione al problema.