[Risolto] PARABOLA

y = - x^2 + 4·x

a = -1; b = 4

x = - b/(2·a) asse verticale: x = - 4/(2·(-1))

x = 2

yV = - 2^2 + 4·2-----> y = 4

[2, 4] coordinate di V

[0, 0] passa per l'origine (c=0, manca termine noto)

{y = - x^2 + 4·x

{y = 0

intersezioni con x: [x = 0 ∧ y = 0, x = 4 ∧ y = 0]

Bisettrice: y = x (° e 3° quadrante)

retta ad essa parallela per V(2,4): y = x + q

4 = 2 + q---> q = 2

La retta che ottengo la metto a sistema:

{y = x + 2

{y = - x^2 + 4·x

Risolvo ed ottengo: [x = 1 ∧ y = 3, x = 2 ∧ y = 4]

AV=√((2 - 1)^2 + (4 - 3)^2) = √2

La retta parallela alla bisettrice del 1^ e 3^ quadrante avrà m =1 

La lunghezza della corda è la distanza tra i due punti intercettati dalla retta, quindi rad2

L'esercizio si riferisce alle intersezioni di una parabola ad asse di simmetria parallelo all'asse y
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2 (apertura a != 0; vertice V(w, h))
con una retta secante che interseca entrambi gli assi
* s ≡ y = m*x + q (pendenza m != 0; intercetta q)
---------------
Tali intersezioni sono la soluzione del sistema
* s & Γ ≡ (y = m*x + q) & (y = h + a*(x - w)^2) & (a*m != 0)
la cui risolvente
* h + a*(x - w)^2 - (m*x + q) = 0
per avere una corda, deve avere discriminante positivo
* Δ = m^2 - 4*a*(h - q - m*w) > 0
altrimenti è inutile proseguire i calcoli.
---------------
Calcolate le intersezioni P(xP, yP) e Q(xQ, yQ) la misura della corda è
* L = √((xP - xQ)^2 + (yP - yQ)^2)
==============================
Nel caso in esame si richiede di risolvere un paio di problemini preliminari
1) Γ ≡ y = - x^2 + 4*x ≡ y = 4 - (x - 2)^2 → V(2, 4), a = - 1
2) retta per V di pendenza uno: r ≡ y = 4 + 1*(x - 2) ≡ y = x + 2 → m = 1, q = 2
da cui il sistema
* r & Γ ≡ (y = x + 2) & (y = 4 - (x - 2)^2) & (- 1*1 != 0) ≡
≡ P(1, 3) e Q(2, 4) ≡ V
e la richiesta lunghezza
* L = √((1 - 2)^2 + (3 - 4)^2) = √2