[Risolto] Pallone aerostatico

«Un solido più denso di un fluido, se collocato in esso, discenderà in fondo al fluido e se si peserà il solido nel fluido, risulterà più leggero del suo vero peso, e la differenza di peso sarà uguale al peso del fluido spostato».
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Uso i nomi
* dS = densità del solido (pallone)
* dF = densità del fluido (aria esterna)
* dr = dS/dF = densità relativa (quante volte il solido è più denso del fluido)
* x = densità incognita richiesta
e i valori razionali
* 781,3 = 7813/10 m^3
* dF = 1,29 = 129/100 kg/m^3
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Calcolo la densità del pallone considerando compreso nei "781,3 m^3" d'aria calda anche il volume del "suo carico"
* massa dell'aria interna = (7813/10)*x kg
* massa del carico = 451 kg
* dS = ((7813/10)*x + 451)/(7813/10) = x + 4510/7813 kg/m^3
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Distinzione di casi
A) per dr < 1 si ha galleggiamento, cioè la quota del pallone aumenta.
B) per dr = 1 si ha equilibrio indifferente, cioè la quota del pallone è costante.
C) per dr > 1 si ha affondamento, cioè la quota del pallone diminuisce.
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RISULTATO (con tre cifre significative, come "1,29")
Se "Esso viaggia ad un'altezza costante" cade nel caso B, quindi
* dr = 1 ≡ dS = dF ≡ x + 4510/7813 = 129/100 ≡
≡ x = 556877/781300 ~= 0.7127569 ~= 0.713 kg/m^3

F Archimede = F peso.

(d aria esterna) * Volume * g = M * g + (massa aria calda) * g;

g = 9,8 m/s^2 si semplifica.

M = 451 kg;

1,29 * Volume = 451 + (massa aria calda);

Volume = 781,3 m^3.

massa aria calda = 1,29 * 781,3 - 451;

massa aria calda = 1007,88 - 451;

massa aria calda = 556,88 kg;

L'aria calda è meno densa dell'aria esterna, per questo il volume aumenta e il pallone galleggia in aria fredda.

densità aria calda; d = massa / Volume;

d = 556,88 / 781,3 = 0,71 kg / m^3.

Ciao.

@mmari

Ciao. Riscrivo per aver sott'occhio il problema:

"Un pallone aerostatico con il suo carico ha massa di 451 kg e contiene 781,3 m^3 di aria calda. Esso viaggia ad un'altezza costante in aria con densità 1,29 kg/m^3. Qual è la densità dell'aria calda contenuta nel pallone?"

Risoluzione: La risultante delle forze verticali applicate al pallone è nulla!

peso pallone con carico=ρ·g·v+451*g

=

spinta di Archimede=ρ'·g·v 

ove:

ρ= densità dell'aria all'interno del pallone alla quota costante (incognita)

ρ'= densità dell'aria all'esterno del pallone=1.29 kg/m^3

g=accelerazione di gravità=9.81 m/s^2

Inserendo i numeri hai:

ρ·9.81·781.3 + 451·9.81 = 1.29·9.81·781.3

(7813·ρ + 4510)/10 = 1007.877

quindi risolvendo:

ρ = 0.7127569435 kg/m^3-------->ρ = 0.713 kg/m^3