Operazione numeri complessi

Il numero complesso $z = -27$ può essere scritto come $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$, dove:
- Il modulo è $r = |-27| = 27$.
- L'argomento principale è $\theta = \pi$ (poiché il punto si trova sull'asse reale negativo).

Quindi:
$$z = 27(\cos \pi + i \sin \pi)$$

Secondo la formula di De Moivre per le radici, le tre soluzioni $x_k$ (per $k = 0, 1, 2$) sono date da:
$$x_k = \sqrt[3]{27} \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{3} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{3} \right)$$
dove $\sqrt[3]{27} = 3$.

Calcoliamo esplicitamente i valori per ogni $k$:

- Per $k = 0$:
$$\begin{aligned}
x_0 &= 3 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \\
&= 3 \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\
&= \frac{3}{2} + i \frac{3\sqrt{3}}{2}
\end{aligned}$$

- Per $k = 1$:
$$\begin{aligned}
x_1 &= 3 \left( \cos \frac{3\pi}{3} + i \sin \frac{3\pi}{3} \right) \\
&= 3 (\cos \pi + i \sin \pi) \\
&= 3 (-1 + 0i) \\
&= -3
\end{aligned}$$

- Per $k = 2$:
$$\begin{aligned}
x_2 &= 3 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) \\
&= 3 \left( \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\
&= \frac{3}{2} - i \frac{3\sqrt{3}}{2}
\end{aligned}$$

Le soluzioni dell'equazione nel piano di Argand-Gauss formano i vertici di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio 3.

x^3 + 27 = 0

(x + 3)·(x^2 - 3·x + 9) = 0

x + 3 = 0----> x = -3

x^2 - 3·x + 9 = 0

Δ = (-3)^2 - 4·9---> Δ = -27

√Δ = √(-27)----> √Δ = 3·√3·i

α = (3 - 3·√3·i)/2

β = (3 + 3·√3·i)/2

In definitiva tre radici complesse:

x = 3/2 - 3·√3·i/2 ∨ x = 3/2 + 3·√3·i/2 ∨ x = -3

e si ottengono applicando 

la formula seguente... [uso la notazione esponenziale]

x = r*exp(i*theta) ---> modulo di x =|x|=r e theta = anomalia principale del complesso x ---> theta + 2k*pi è lo stesso complesso x [avendone la stessa rappresentazione sul piano di Gauss].

da qui:

x^(1/n) = r^(1/n)*exp(i*(theta + 2k*pi)/n)

che , al variare di k dà luogo alle n radici n-esime di x.{es. k = 0,1 , ..., n-1 ... o distanti da questi di multipli di giro}

qui è l'argomento:

https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/numeri-complessi/760-calcolare-le-radici-di-un-numero-complesso.html

... o vedi (ma è un caso particolare in cui è possibile la "comoda" scomposizione) @raskolnikov o @LucianoP

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n.b.

exp() = e^()  ... per definizione

x^3+27=0. somma di due cubi che si scompone in (x+3)(x^2+9-3x)=0. da cui x=-3 V x^2-3x+9=0, 

Delta=9-4x9=-3x9, la cui radice è 3rad3 i

X1,2=(3+-3rad3 i)/2 

x = radice cubica (- 27) = - 3; numero reale, non ha parte immaginaria.

x = - 3 + 0i

Non va bene. Vedi @edoardo_balducci