Domanda numeri complessi

l risultato dell'espressione $18e^{i\frac{\pi}{2}}$ deriva dall'applicazione della formula di Eulero.

La forma generale di un numero complesso in forma esponenziale è $r e^{i\theta}$, dove $r$ è il modulo e $\theta$ è l'argomento (l'angolo in radianti). La relazione fondamentale (appunto la formula di Eulero) è:
$e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$
Nel caso specifico dell'espressione $18e^{i\frac{\pi}{2}}$, abbiamo:
- Il modulo $r = 18$
- L'argomento $\theta = \frac{\pi}{2}$

Applicando la formula, otteniamo:

$$\begin{aligned} 18e^{i\frac{\pi}{2}} &= 18 \left( \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) \end{aligned}$$.
Sappiamo dai valori notevoli della circonferenza goniometrica che:
- $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$
- $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$
Sostituendo questi valori nell'equazione:

$$\begin{aligned} 18e^{i\frac{\pi}{2}} &= 18 (0 + i \cdot 1) \\ &= 18(i) \\ &= 18i \end{aligned}$$.

Per capire meglio può essere utile un' interpretazione geometrica:

Nel piano complesso, moltiplicare un numero per $e^{i\frac{\pi}{2}}$ corrisponde a una rotazione di $90^{\circ}$ (o $\frac{\pi}{2}$ radianti) in senso antiorario. Poiché il numero reale $18$ si trova sull'asse orizzontale, una rotazione di $90^{\circ}$ lo porta a trovarsi esattamente sull'asse immaginario verticale, corrispondente al valore $18i$

e^(i·θ) = COS(θ) + i·SIN(θ)

Formula di Eulero

θ = pi/2

e^(i·(pi/2)) = COS(pi/2) + i·SIN(pi/2)

e^(i·(pi/2)) = 0 + i

18·e^(i·(pi/2)) = 18·(0 + i)

18·e^(i·(pi/2)) = 18·i

Spiegare gentilmente perché svolgendo 18e^(iπ\2) viene 18i

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e^(i*pi/2) ---> modulo 1, angolo (anomalia) +pi/2   ...praticamente i,

quindi 18*e^(i*pi/2) = 18*i

...rappresentazione  modulo-fase   18/_pi/2 = i