numeri complessi

espressioni esponenziali

i  = 1*e^(i*pi/2)

-i = -1 * i = 1*e^(i*pi)* 1*e^(i*pi/2) = 1*e^(i*3pi/2) = 1*e^(-i*pi/2) 

---> {si usa in genere l'argomento minore o uguale a +pi o - pi}

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altro...

assumendo che mi per i =1,2,3 siano punti materiali e posta l'origine delle x in m2-m3 nell'istante (t=0+) dopo l'urto, sarà:

vcm* (m1+m2+m3) = p1 + p2 + p3 = m1*v1 + m2*v2 + m3*v3= m3*vo

inoltre è v2 = v3 = v   e posto (m1+m2+m3) = M

vcm* M = m1*v1 + (m2+m3)v= m3*vo

essendo (per t= 0+) g bilanciata dalla reazione dell'asta , vale la conservazione della quant.di.moto 

necessariamente i tre vettori v1 v e vo sono paralleli e orizz. perciò usiamo le componenti

m1*v1+(m2+m3)*v2 = m3*vo= vcm(m1+m2+m3)

a) quindi vcm nel primo istante vcm = m3*vo/(m1+m2+m3) = 2 m/s

b) applicando nel primo istante anche la conservazione dell'energia K

K = (m1+m2+m3)*vcm²/2 = K1 + K2 + K3 = m1*v1²/2 + m2*v2²/2 + m3*v3²/2 = m1*v1²/2 +(m2 +m3 )v2²/2

cioè:
(m1+m2+m3)(m3*vo/(m1+m2+m3))² = m1*v1²/2 + (m2 +m3 )v2²/2

e  risolvendo con Wolfram 

v1= u = 2 (1 - sqrt(2)), v2 = v3 = v = 2 + sqrt(2)

v1' = v1 - vcm = -2sqrt2           v2' = v2 - vcm = sqrt2

xcm = 0 m   ycm = (0(m2+m3) + L*m1/2)/M = (0.6*0.2/2)/0.6 = 0.1 m

 w1 = |v1'| /r1 = 2sqrt2/(L/2-ycm)= 2sqrt2/0.2 = 10sqrt2 rad/s

 w2 = |v2'| /r2 = sqrt2/ycm = sqrt2/0.1 = 10sqrt2 rad/s

quindi        w = w1 = w2 =10sqrt2

c)

proviamo ...

 quindi il centro di massa ruota a r = L-ycm = 0.6 -0.1 = 0.5 m

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf1f79b2be0d1929902c5598cea6967b1593829

l^2/2(dtheta/dt)² =g*l*costhetamax
l/2(w)² =g*costhetamax ---> costhetamax = w²*l/(2g)

dove l = I/(m*r) ---> l =  (m1*L/2+(m2+m3)L)/ (M*r) = (0.2*0.3+ 0.4*0.6) / (0.6*0.5) = 1 m

costhetamax = w²*l/(2g) = (10sqrt2)²*1 /(2*9.81)

rivedi...

z ( z^2 + 1 ) = 0

z = 0

z = -i =>   z = e^(-i TT/2)

z = i =>    z = e^(i TT/2)

Nota : a + ib = p e^(i teta )

con p = sqrt(a^2 + b^2)

teta = arctg* (b/a)

nel tuo caso   -1/0 e 1/0 hanno per arcotangente - TT/2 e TT/2 perché

per tali angoli

il seno é -1, o 1 e il coseno é 0.

± i hanno modulo uno e sono sull'asse immaginario a 90° e 270°.
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* z^3 + z = 0 ≡
≡ (z^2 + 1)*z = 0 ≡
≡ (z^2 + 1 = 0) oppure (z = 0) ≡
≡ (z = - i) oppure (z = i) oppure (z = 0) ≡
≡ (z = 1*e(i*270°)) oppure (z = 1*e(i*90°)) oppure (z = 0*e(i*qualsiasi)) ≡
≡ (z = e(i*3*π/2)) oppure (z = e(i*π/2)) oppure (z = 0)