Numeri complessi

Le potenze di "i" e di "- i" sono cicliche con periodo quattro
* {k, (+ i)^k} ∈ {{0, 1}, {1, i}, {2, - 1}, {3, - i}, {4, 1}, {5, i}, {6, - 1}, {7, - i}, {8, 1}, ...}
* {k, (- i)^k} ∈ {{0, 1}, {1, - i}, {2, - 1}, {3, i}, {4, 1}, {5, - i}, {6, - 1}, {7, i}, {8, 1}, ...}
quindi
a) ogni esponente si sostituisce col resto della sua divisione per quattro: K = k mod 4;
b) come per qualsiasi altra potenza
b1) se K ∈ {0, 2} allora (- i)^k = i^k;
b2) se K ∈ {1, 3} allora (- i)^k = - i^k.
------------------------------
Si calcolano separatamente le subespressioni notevoli
* - 2*i^5/(- 5*i) = (2/5)*i^4 = (2/5)*i^0 = 2/5
* - 6*i - (- i)^5 = - 6*i - (- i)^1 = - 6*i + i = - 5*i
* [- 6*i - (- i)^5]^2 = [- 5*i]^2 = 25*i^2 = - 25
* i^8 - 2*i^20 = i^0 - 2*i^0 = - 1
* i^7 - i^9 = i^3 - i^1 = - i - i = - 2*i
* i*(i^8 - 2*i^20)*(i^7 - i^9) = i*(- 1)*(- 2*i) = 2*i^2 = - 2
si sostituiscono le semplificazioni nell'espressione originale
* (- 2*i^5/(- 5*i))*[- 6*i - (- i)^5]^2 - i*(i^8 - 2*i^20)*(i^7 - i^9) =
= (2/5)*(- 25) - (- 2)
e si ottiene
* (- 2*i^5/(- 5*i))*[- 6*i - (- i)^5]^2 - i*(i^8 - 2*i^20)*(i^7 - i^9) = - 8
Verifica
http://www.wolframalpha.com/input?i=simplify+%28-+2*i%5E5%2F%28-+5*i%29%29*%5B-+6*i+-+%28-+i%29%5E5%5D%5E2+-+i*%28i%5E8+-+2*i%5E20%29*%28i%5E7+-+i%5E9%29

La traccia dell'esercizio quale sarebbe? 🤔