Applicando il principio di induzione completa verificare se sussiste, $\forall n \in \mathbf{N}$, la seguente uguaglianza:
$$
\sum_{i=0}^n\left(\frac{1}{4}\right)^i=\frac{4}{3}\left[1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}\right]
$$
Applicando il principio di induzione completa verificare se sussiste, $\forall n \in \mathbf{N}$, la seguente uguaglianza:
$$
\sum_{i=0}^n\left(\frac{1}{4}\right)^i=\frac{4}{3}\left[1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}\right]
$$
6
punti
Livello 0
Per i = 0 é vero, infatti
(1/4)^0 = 1
4/3 * (1 - 1/4) = 4/3 * 3/4 = 1
Supponiamo che sia vero fino a n, risulta poi per proprietà associativa della somma
S_i:0->(n+1) (1/4)^i = S_i:0->n (1/4)^i + (1/4)^(n+1) =
= 4/3 * 1 - 4/3 * (1/4)^(n+1) + (1/4)^(n+1) =
= 4/3 - 1/3 *(1/4)^(n+1) =
= 4/3 * (1 - 1/4 * (1/4)^(n+1)) =
= 4/3 *(1 - (1/4)^((n+1)+1) )
e la tesi é provata
58352
punti
Livello 7
Teorema
Ipotesi: n ∈ N
Tesi: Σ [k = 0, n] (1/4)^k = (4/3)*(1 - (1/4)^(n + 1))
-----------------------------
Semplificazioni
* Σ [k = 0, n] (1/4)^k = 1 + Σ [k = 1, n] 1/4^k
* (4/3)*(1 - (1/4)^(n + 1)) = (1/3)*(4 - 1/4^n)
* Σ [k = 0, n] (1/4)^k = (4/3)*(1 - (1/4)^(n + 1)) ≡
≡ 1 + Σ [k = 1, n] 1/4^k = (1/3)*(4 - 1/4^n) ≡
≡ Σ [k = 1, n] 1/4^k = (1 - 1/4^n)/3
-----------------------------
Teorema equivalente
Ipotesi: (k ∈ N) & (n ∈ N)
Tesi T(n): Σ [k = 1, n] 1/4^k = (1 - 1/4^n)/3
-----------------------------
Caso base: n = 1
* Σ [k = 1, 1] 1/4^k = 1/4
* (1 - 1/4^1)/3 = 1/4
* Σ [k = 1, 1] 1/4^k = (1 - 1/4^1)/3 ≡ Vero
-----------------------------
Induzione: ammessa vera la T(n), il passo induttivo d'estensione è come segue.
---------------
* Primo membro: Σ [k = 1, n + 1] 1/4^k =
= Σ [k = 1, n] 1/4^k + 1/4^(n + 1) =
= (1 - 1/4^n)/3 + 1/4^(n + 1) =
= (1 - 1/4^(n + 1))/3
---------------
* Secondo membro: (1 - 1/4^(n + 1))/3
---------------
Conclusione: T(n) → T(n + 1)
QED
57798
punti
Genius I