[Risolto] Nel semipiano delle ordinate positive considera un punto generico P

16·x^2 - 9·y^2 + 144 = 0

x^2/9 - y^2/16 = -1 : Forma canonica dell'iperbole

Semiasse trasverso è quello verticale e misura:

b = √16 = 4

Il semiasse non trasverso è quello orizzontale e misura:

a = √9 = 3

Di conseguenza la semidistanza focale è:

c = √(a^2 + b^2) = √(9 + 16) = 5

Quindi i fuochi avranno coordinate:

[0.5]

[0, -5]

L'iperbole risolta rispetto ad y fornisce:

y = - 4·√(x^2 + 9)/3 ∨ y = 4·√(x^2 + 9)/3

Quindi consideriamo:

y = 4·√(x^2 + 9)/3

Il generico punto P ha coordinate: [α, 4·√(α^2 + 9)/3]

quindi m=y' = dy/dx = 4·α/(3·√(α^2 + 9))

Da cui la retta tangente in P:

y - 4·√(α^2 + 9)/3 = 4·α/(3·√(α^2 + 9))·(x - α)

y = 4·(α·x + 9)/(3·√(α^2 + 9))

per il punto T richiesto:

4·(α·x + 9)/(3·√(α^2 + 9)) = 0

x = - 9/α

TF = √((- 9/α)^2 + 5^2) = √(25·α^2 + 81)/ABS(α)

Deve risultare:

4·√(25·α^2 + 81)/ABS(α) = √17·(4·√(α^2 + 9)/3)

risolta fornisce: α = -3 ∨ α = 3

Quindi due punti simmetrici rispetto asse y:

[-3, 4·√((-3)^2 + 9)/3]----->[-3, 4·√2]

[3, 4·√(3^2 + 9)/3]---->[3, 4·√2]

L'iperbole
* γ ≡ 16*x^2 - 9*y^2 + 144 = 0 ≡
≡ (x/3)^2 - (y/4)^2 = - 1
è riferita ai suoi assi con: semiassi (a, b) = (3, 4); semidistanza focale c = √(a^2 + b^2) = 5; vertici V(0, ± 4); fuochi F(0, ± 5); cursori dei rami P(k, ± (4/3)*√(k^2 + 9)).
Il testo chiede di:
* considerare i punti P(k, (4/3)*√(k^2 + 9)), H(k, 0), F(0, 5)
* indicare t ≡ 16*x*k - 9*y*(4/3)*√(k^2 + 9) + 144 = 0 ≡ y = (4/3)*(k*x + 9)/√(k^2 + 9)
* nominare T(- 9/k, 0)
* determinare P tale che 4*|TF| = |PH|*√17
pertanto con
* |PH| = yP = (4/3)*√(k^2 + 9)
* |TF| = √(81/k^2 + 25)
si ha
* 4*|TF| = |PH|*√17 ≡
≡ 4*√(81/k^2 + 25) = (4/3)*√(k^2 + 9)*√17 ≡
≡ √(81/k^2 + 25)/√(17*(k^2 + 9)) = (4/3)/4 ≡
≡ √((81/k^2 + 25)/(17*(k^2 + 9))) = 1/3 ≡
≡ k = ± 3
da cui
* P(± 3, (4/3)*√18)