n70 verificare l’identità

SIN(pi/3 - x)^2 + SIN(pi/3 + x)^2 =

=2 - SIN(pi/6 - x)^2 - SIN(pi/6 + x)^2

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1° MEMBRO:

Si ha:

SIN(pi/3 - x) = SIN(pi/3)·COS(x) - SIN(x)·COS(pi/3)

SIN(pi/3 - x) = √3·COS(x)/2 - SIN(x)/2

analogamente:

SIN(pi/3 + x) = √3·COS(x)/2 + SIN(x)/2

per abbreviare poniamo:

Χ = COS(x) ; Υ = SIN(x)

(√3·Χ/2 - Υ/2)^2 + (√3·Χ/2 + Υ/2)^2  (è il 1° membro)

(Υ^2/4 - √3·Υ·Χ/2 + 3·Χ^2/4) + (Υ^2/4 + √3·Υ·Χ/2 + 3·Χ^2/4)

Υ^2/2 + 3·Χ^2/2   con Υ^2 = 1 - Χ^2  si ha:

(1 - Χ^2)/2 + 3·Χ^2/2=

=(2·Χ^2 + 1)/2

(che poi sarebbe: (1 + 2·COS(x)^2)/2=1/2·COS(2·x) + 1)

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2° MEMBRO:

procedendo analogamente come prima

SIN(pi/6 - x) = SIN(pi/6)·COS(x) - SIN(x)·COS(pi/6)

SIN(pi/6 - x) = COS(x)/2 - √3·SIN(x)/2

quindi anche:

SIN(pi/6 + x) = COS(x)/2 + √3·SIN(x)/2

(Χ = COS(x) ; Υ = SIN(x) )

2 - (Χ/2 - √3·Υ/2)^2 - (Χ/2 + √3·Υ/2)^2=

=2 - (3·Υ^2/4 - √3·Υ·Χ/2 + Χ^2/4) - (3·Υ^2/4 + √3·Υ·Χ/2 + Χ^2/4)=

=2 - 3·Υ^2/2 - Χ^2/2=

=2 - 3·(1 - Χ^2)/2 - Χ^2/2=

=Χ^2 + 1/2 = (2·Χ^2 + 1)/2

Verifica soddisfatta!