Nel fascio di parabole con asse parallelo all'asse $y$, tangenti alla retta di equazione $y=-x+2$ nel suo punto di ascissa 1, determina la parabola:
a. passante $\operatorname{per} P(2 ;-1)$;
b. con fuoco di ascissa $\frac{5}{4}$;
c. con direttrice la retta di equazione $y=\frac{5}{4}$.
[a) $y=-x^2+x+1$; b) $y=2 x^2-5 x+4$; c) $\left.y=-2 x^2+3 x\right]$
buongiorno
, potete risolvermi questo problema per favore? grazie mille
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Livello 1
Il fascio di parabole
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La retta y = 2 - x ha pendenza m = - 1 e, all'ascissa uno, ha il punto T(1, 1) dove deve tangere il fascio.
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Ogni parabola Γ non degenere con: asse parallelo all'asse y, apertura a != 0, vertice V(w, h); ha equazione delle forma
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
e pendenza
* m(x) = 2*a*(x - w)
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La soluzione del sistema di vincoli imposti dalle due condizioni
* (passare per T) & (con pendenza meno uno) ≡
≡ (1 = h + a*(1 - w)^2) & (2*a*(1 - w) = - 1) ≡
≡ (h = (4*a - 1)/(4*a)) & (w = (2*a + 1)/(2*a))
determina
1) il luogo dei vertici: (y = (3 - x)/2) & (x != 1)
2) il fascio richiesto: y = (4*k - 1)/(4*k) + k*(x - (2*k + 1)/(2*k))^2 ≡
≡ Γ(k) ≡ y = k*x^2 - (2*k + 1)*x + (k + 2)
con i casi particolari
2a) Γ(0) ≡ y = 2 - x (la tangente comune, la parabola degenere)
2b) Γ(- 1/2) ≡ y = (3 - x^2)/2 (la parabola funzione pari)
2c) Γ(- 2) ≡ y = (3 - 2*x)*x (la parabola per l'origine)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D2-x%2Cy%3D%283-x%5E2%29%2F2%2Cy%3D%283-2*x%29*x%5Dx%3D-1to3%2Cy%3D-2to2
e il caso generale
* Γ(k) ≡ y = (4*k - 1)/(4*k) + k*(x - (2*k + 1)/(2*k))^2
con
* apertura a = k != 0
* vertice V((2*k + 1)/(2*k), (4k - 1)/(4*k))
* fuoco F((2*k + 1)/(2*k), (4*k - 1)/(4*k) + 1/(4*k)) = ((2*k + 1)/(2*k), 1)
* direttrice d ≡ y = (4*k - 1)/(4*k) - 1/(4*k) ≡ y = (2*k - 1)/(2*k)
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Risposte ai quesiti
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a) per P(2, - 1) → - 1 = (4*k - 1)/(4*k) + k*(2 - (2*k + 1)/(2*k))^2 ≡ k = - 1
* Γ(k) ≡ y = - x^2 + x + 1
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b) F(5/4, 1) → (2*k + 1)/(2*k) = 5/4 ≡ k = 2
* Γ(k) ≡ y = 2*x^2 - 5*x + 4
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c) d ≡ y = 5/4 → (2*k - 1)/(2*k) = 5/4 ≡ k = - 2
* Γ(- 2) ≡ già fatto! v. sub 2c
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Genius I
La generica parabola sarà del tipo y = ax^2+bx+c , dobbiamo determinare i tre coefficienti.
Della retta y = -2x +1 sappiamo che passa per il punto di ascissa 1, calcoliamoci la y = -2(1) + 1 y = 1.
Dunque il punto P di tangenza tra retta e parabola sarà P(1,1)
Per determinare i coefficienti a,b,c della parabola sono necessarie tre condizioni.
Una è la condizione di tangenza alla retta y= -x +2 : per esprimere ciò, mettiamo a sistema le equazioni della generica parabola e della specifica retta e, procedendo per confronto, otteniamo:
-x + 2 = ax^2 +bx +c e quindi 0 = ax^2 +(b+1)x +c -2
In questa equazione, imponiamo Delta = 0, che esprime il fatto di avere le due soluzioni coincidenti,vioè la tangenza tra retta e parabola. Avremo:
(b+1)^2 -4a(c-2) = 0
Poi, nell'equazione della parabola imponiamo il passaggio per P(1,1) (seconda condizione). Avremo:
1 = a*1^2 + b*1 + c
La terza condizione, sarà quella di volta in volta individuata dalle richieste del problema, e permetterà per ciascun caso di determinare a,b,c e quindi la specifica parabola
Il metodo ora ce l'hai, ti lascio il 'divertimento' di procedere coi calcoli di sistemi a e equazioni a 3 incognite 😆
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Livello 6
