n381

[2, 4]

[14, 0]

retta tangente alla circonferenza passa per tali punti:

(y - 4)/(x - 2) = (0 - 4)/(14 - 2)

(y - 4)/(x - 2) = - 1/3----> y = 14/3 - x/3

Scrivo retta ad essa perpendicolare passante per T(2,4)

y - 4 = 3·(x - 2)----> y = 3·x - 2

Quindi un suo generico punto è: [x, 3·x - 2]

Calcolo l'equidistanza di tale punto dai due di figura:[2, 4] e [-2, 0]

quindi:

(x - 2)^2 + (3·x - 2 - 4)^2 = (x + 2)^2 + (3·x - 2 - 0)^2

(x^2 - 4·x + 4) + (9·x^2 - 36·x + 36) = (x^2 + 4·x + 4) + (9·x^2 - 12·x + 4)

Risolvo ed ottengo: x = 1

Quindi il centro è:

[1, 3·1 - 2]------> [1, 1]

Equazione cartesiana

Determino r^2 che è la distanza al quadrato fra [1, 1] e [-2, 0]

r^2 = (1 + 2)^2 + (1 - 0)^2---> r^2 = 10

(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 10

quella implicita è:

x^2 + y^2 - 2·x - 2·y - 8 = 0

"potete risolvermi questo esercizio?" Avrei potuto, se tu avessi scritto la consegna.
Tiro a indovinare e magari non c'entra nulla: affari tuoi!
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Dati i punti
* A(- 2, 0), B(14, 0), T(2, 4)
calcolare la retta congiungente B e T
* t ≡ BT ≡ y = (14 - x)/3
e il fascio di circonferenze per A e T, con raggio r e centro C(a, b), di forma
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
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Dai vincoli d'appartenenza
* A(- 2, 0): (- 2 - a)^2 + (0 - b)^2 = q ≡ (a + 2)^2 + b^2 = q
* T(2, 4): (2 - a)^2 + (4 - b)^2 = q ≡ (a - 2)^2 + (b - 4)^2 = q
si forma il sistema
* ((a + 2)^2 + b^2 = q) & ((a - 2)^2 + (b - 4)^2 = q) & (q > 0) ≡
≡ (b = 2 - a) & (q = 2*(a^2 + 4)) & (r = √(2*(a^2 + 4)))
da cui il fascio
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (2 - k))^2 = 2*(k^2 + 4)
e i centri
* C(k, 2 - k)
che corrono sulla retta y = 2 - x.
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Il sistema
* t & Γ(k) ≡ (y = (14 - x)/3) & ((x - k)^2 + (y - (2 - k))^2 = 2*(k^2 + 4))
ha risolvente
* (x - k)^2 + ((14 - x)/3 - (2 - k))^2 - 2*(k^2 + 4) = 0 ≡
≡ x^2 - (4/5)*(3*k + 2)*x + (4/5)*(6*k - 1) = 0
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere zero
* Δ(k) = (144/25)*(k - 1)^2 = 0 ≡ k = 1
da cui infine
* Γ(1) ≡ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 10
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solution" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%2814-x%29%2F3%2C%28x-1%29%5E2%3D10-%28y-1%29%5E2%5D
e il solo grafico ai link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D%2814-x%29%2F3%2C%28x-1%29%5E2%3D10-%28y-1%29%5E2%5Dx%3D-3to15%2Cy%3D-3to6