[Risolto] Scomporre in fattori un trinomio di secondo grado, liceo scientifico secondo anno.

Brava!
Per prima cosa ti clicko un cuoricino in segno di gratitudine per avermi segnalato anno di corso e tipo di scuola; poi ti illustro la procedura per scomporre in fattori di primo grado un qualsiasi trinomio monico (cioè con coefficiente "+ 1" per x^2) di secondo grado, pubblicata da Bramegupta nel VII secolo (1400 anni fa); infine la applico al tuo trinomio.
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Procedura di Bramegupta
Ogni trinomio di secondo grado si può ridurre alla forma monica mettendo in evidenza il coefficiente direttore quindi, salvo tale fattore di grado zero, basta studiare la fattorizzazione della forma
* x^2 - s*x + p
che si ottiene con i pochi calcoli qui di seguito.
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A) Completare il quadrato dei termini variabili.
* x^2 - s*x = (x - s/2)^2 - (s/2)^2
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B) Sostituire nel trinomio; esprimere il termine noto come opposto di un quadrato.
* x^2 - s*x + p =
= (x - s/2)^2 - (s/2)^2 + p =
= (x - s/2)^2 - (s^2 - 4*p)/4 =
= (x - s/2)^2 - (√(s^2 - 4*p)/2)^2
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C) Applicare il prodotto notevole "somma per differenza".
* x^2 - s*x + p =
= (x - s/2)^2 - (√(s^2 - 4*p)/2)^2 =
= (x - s/2 + √(s^2 - 4*p)/2)*(x - s/2 - √(s^2 - 4*p)/2)
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Il tuo trinomio
Da
* "x^2-(3-√3/3)x-√3" ≡ x^2 - (3 - 1/√3)*x - √3
con
* s = (3 - 1/√3)
* p = (- √3)
si ha
* (x - s/2 + √(s^2 - 4*p)/2)*(x - s/2 - √(s^2 - 4*p)/2) =
= (x - (3 - 1/√3)/2 + √((3 - 1/√3)^2 - 4*(- √3))/2)*(x - (3 - 1/√3)/2 - √((3 - 1/√3)^2 - 4*(- √3))/2) =
= (x - (3 - 1/√3)/2 + √(28/3 - 2*√3 + 4*√3)/2)*(x - (3 - 1/√3)/2 - √(28/3 - 2*√3 + 4*√3)/2) =
= (x - (3 - 1/√3)/2 + √(28/3 + 2*√3)/2)*(x - (3 - 1/√3)/2 - √(28/3 + 2*√3)/2) =
= (x - (3 - 1/√3)/2 + (3 + 1/√3)/2)*(x - (3 - 1/√3)/2 - (3 + 1/√3)/2) =
= (x + 1/√3)*(x - 3)
che è proprio il risultato atteso.
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Dettagli
* √(a + √b) = √((a + √(a^2 - b))/2) + √((a - √(a^2 - b))/2)
* √(28/3 + 2*√3) = √(28/3 + √12)
* a = 28/3
* b = 12
* √(a^2 - b) = √(676/9) = 26/3
* √((a + √(a^2 - b))/2) = √((28/3 + 26/3)/2) = √9 = 3
* √((a - √(a^2 - b))/2) = √((28/3 - 26/3)/2) = √(1/3) = 1/√3

Se sai risolvere le equazioni di 2° grado:

x^2 - (3 - √3/3)·x - √3 = 0

x = - √3/3 ∨ x = 3

per cui:

(x + √3/3)·(x - 3)

Altrimenti con Ruffini osservando che:

P(3)=3^2 - (3 - √3/3)·3 - √3= 9 - (9 - √3) - √3= 0

Quindi il trinomio è divisibile per (x-3). Dividi con la Regola di Ruffini ed ottieni:

Q(x)=(x + √3/3)

R=0

da cui il risultato precedente.