Determina per quale valore di $b$ la retta di equazione $(b-1) x+(4-b) y-b=0$ è:
a. perpendicolare alla retta $3 y-3 x+4=0$;
b. parallela alla retta passante per $O(0 ; 0)$ e $A(-2 ; 4)$;
c. parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante;
d. perpendicolare alla retta $y+2 \sqrt{3}=0$;
e. parallela alla retta $3 \sqrt{2} y+5 \sqrt{2} x+8 \sqrt{3}=0$
f. perpendicolare alla retta $5-3 x=0$.
salve, potete risolvermi il 227?
201
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Livello 1
Se c'è un solo parametro io lo chiamo "k"; il nome "b" lo riserbo al coefficiente di y.
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ESAME DELL'EQUAZIONE
Il fascio
* r(k) ≡ (k - 1)*x + (4 - k)*y - k = 0
ha parametrici tutt'e tre i coefficienti
* a = k - 1
* b = 4 - k
* c = - k
quindi genera tutt'e tre le rette particolari
* r(0) ≡ y = x/4, per l'origine
* r(1) ≡ y = 1/3, parallela all'asse x
* r(4) ≡ x = 4/3, parallela all'asse y
individuando il centro C(4/3, 1/3) e, per k != 4, si può esprimere in funzione della pendenza m e dell'intercetta q in quanto le sei richieste riguardano solo parallelismo e ortogonalità.
* r(k != 4) ≡ y = ((1 - k)/(4 - k))*x + k/(4 - k) ≡
≡ r(m, q) ≡ y = m*x + q
con
* m = (1 - k)/(4 - k) ≡ (k = (4*m - 1)/(m - 1)) & (m != 1)
* q = k/(4 - k) ≡ (k = 4*q/(q + 1)) & (q != - 1)
da cui si vede che il fascio non genera:
* la parallela alla bisettrice dei quadranti dispari, con m = 1 (quesito c);
* la retta per Y(0, - 1), con q = - 1 ((k - 1)*0 + (4 - k)*(- 1) - k = 0 ≡ - 4 = 0).
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Come rispondere ai quesiti
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a) ⟂ alla 3*y - 3*x + 4 = 0 ≡ y = x - 4/3, di pendenza m' = 1
* m = - 1/m' = - 1 ≡ k = 5/2
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b) // alla retta congiungente O(0, 0) ad A(- 2, 4)
* AO ≡ y = - 2*x, di pendenza m = - 2
* m = - 2 ≡ k = 3
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c) // alla bisettrice del primo e terzo quadrante
* m = 1 ≡ nessun k
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... e così via.
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