moto rettilineo uniformemente accelerato

Il primo moto è comune per i due ragazzi: moto uniformemente accelerato.

v=a*t———>s=1/2*a*t^2

Quantitativamente diverso per i due:

{ V= 3*t                                 

{s=1/2*3*t^2.       
questo per 3 secondi (t=3) per Alice

{V=4.3*t

{s= 1/2*4,3*t^2

questo per 2.5 secondi ( t=2.5) per Mattia.

Adesso comincia a vedere cosa ottieni in questa prima parte del moto per i due ragazzi e più tardi ci risentiamo.

Riprendo. Alla fine del moto uniformemente accelerato per Alice si ottengono i seguenti risultati:

{v = 3·3=9 m/s

{s = 1/2·3·3^2 = 13.5 m

Per Mattia i seguenti risultati:

{v = 4.3·2.5 = 10.75 m/s

{s = 1/2·4.3·2.5^2 = 13.4375 m

Certamente vince Mattia. Deve percorrere ancora 100 - 13.4375 = 86.5625 m e quindi impiegherà un ulteriore tempo pari a v=s/t----->t=s/v= 86.5625/10.75 = 8.05 s circa.

Quindi il tempo complessivamente impiegato è: 2.5 + 8.05 = 10.55 s

Per Alice:

100 - 13.5 = 86.5 m impiegando un ulteriore tempo pari a:

t=86.5/9 = 9.61s

Quindi il tempo complessivamente impiegato da Alice è:

3 + 9.61 = 12.61 s

Quindi vince Mattia perché impiega meno tempo a percorrere 100 m.  Per sapere il distacco spaziale bisogna vedere quanti metri percorre per un tempo t pari a t= 10.55 s ,Alice.

Alice percorre 13.5 m in 3 secondi. Le rimangono 10.55 - 3 = 7.55 s che percorre ad una velocità di 9m/s.

v*t=9·7.55 = 67.95 m

Quindi complessivamente nel tempo di Mattia, la ragazza Alice percorre:

13.5 + 67.95 = 81.45 m

Ne mancano ancora:

100 - 81.45 = 18.55 m per raggiungere il traguardo. (distacco di Mattia da Alice)

 

 

 

Legge di Alice, moto accelerato per t = 3 s:

S1 = 1/2 * a * t^2 ;

S1 = 1/2 * 3 * 3^2 = 13,5 m;

S2 = 100 - 13,5 = 86,5 m; (spazio rimanente a velocità costante). S2 = v * t2.

v = a * t = 3 * 3 = 9 m/s; velocità di Alice.

t2 = 86,5 / 9 = 9,61 s

tempo totale di Alice = 3 + 9,61 = 11,61 s.

 

Legge di Mattia, moto accelerato per t = 2,5 s:

S1 = 1/2 * a * t^2 ;

S1 = 1/2 * 4,30 * 2,5^2 = 13,44 m;

S2 = 100 - 13,44 = 86,56 m; (spazio rimanente a velocità costante). S2 = v * t2.

v = a * t = 4,30 * 2,5 = 10,75 m/s; velocità di Mattia.

t2 = 86,56 / 10,75 = 8,05 s

tempo totale di Mattia = 2,5 + 8,05 = 10,55 s.

Vince Mattia, con 1,06 s di distacco.

Delta t = 11,61 - 10,55 = 1,06 s;

Mattia arriva 1,06 secondi prima di Alice, percorrendo 100 metri.

Alice in 10,55 s percorre: S1 in 13,5 m in 3 s ; S2 =  9 * (10,55 - 3) .

S = 13,5 + 9 * 7,55 = 13,5 + 67,95 = 81,54 m.

Distacco Delta S = 100 - 81,54 = 18,55 m

 

 

Altro modo.

Definire le funzioni s=s(t) per Alice e per Mattia.

Per Alice:

per 0 ≤ t < 3------>s = 3·t^2/2   per t=3:    s = 13.5 m.......    v=a*t=3*3=9 m/s

per t ≥ 3 moto uniforme s=13.5+9(t-3) e per s=100 m

13.5 + 9·(t - 3) = 100--------> risolvo: t = 12.61 s tempo complessivamente impiegato da Alice.

La funzione s=s(t) per Alice è la seguente funzione definita a tratti:

s=

{3·t^2/2 per 0 ≤ t < 3

{13.5 + 9·(t - 3) per 3<=t<=12,61   (percorrenza di 100m)

Per Mattia:

per  0 ≤ t <2.5--------> s = 1/2·4.3·t^2=2.15·t^2

per t=2.5:

s = 2.15·2.5^2------->s = 13.4375 m..........v=4.3·2.5 = 10.75 m/s

per t ≥ 2.5 moto uniforme s=13.4375+10.75(t-2.5) e per s=100 m

13.4375+10.75(t-2.5)=100----->risolvo: t = 10.55 s tempo complessivamente impiegato da Mattia

La funzione s=s(t) per Mattia è la seguente funzione definita a tratti:

s=

{2.15·t^2 per  0 ≤ t <2.5

{13.4375+10.75(t-2.5)  per 2.5<=t<=10.55   (percorrenza di 100m)

Quindi vince Mattia con un distacco temporale pari a 12.61 - 10.55 = 2.06 s

Mattia arriva al traguardo in 10.55 s, in tale tempo la ragazza ha percorso:

13.5 + 9·(10.55 - 3) = 81.45 m

Quindi vince Mattia con un distacco spaziale di

100 - 81.45 = 18.55 m

 

 

MAMMA MIA, CHE TESTO ORRIBILE!
A parte che l'italiano è una lingua antica e ricca, in cui si trova una parola specifica quasi per ogni concetto (si dice "intervallo" per "distacco temporale" e "distanza" per "distacco spaziale"), ma com'è che "Alice e Mattia" diventano "la/il ragazza/o"? E com'è che una "procede" e l'altro "prosegue"? E perché distinguere fra "con velocità costante" e "con moto rettilineo uniforme" quando già nel titolo s'è detto "moto rettilineo"? E perché dire "con quale distacco" se si intende chiedere "con quanto distacco"?
Si tratta di una barbarie didattica oltre che linguistica, così gli alunni si disorientano e, capendo male il testo, rischiano di confondersi sul problema.
E va bene, questi sono i libri scolastici usciti dalle Riforme!
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PROBLEMA
Un punto materiale si muove di un moto vario così fatto:
A) partenza da fermo nell'origine all'istante t = 0 con accelerazione "a";
B) moto rettilineo uniformemente accelerato per la durata di "d" secondi;
C) soppressione di "a" e prosecuzione in moto rettilineo uniforme con la velocità v(d) raggiunta.
La specificazione A si traduce nel modello matematico
* (s(t) = (a/2)*t^2) & (v(t) = a*t) & (0 <= t <= d)
La specificazione B dà luogo a
* (S = s(d) = (a/2)*d^2) & (V = v(d) = a*d)
La specificazione C è meno immadiata da modellare perché i suoi tempi sono relativi all'istante "d", ma continuano ad essere contati da zero
* (s(t) = S + V*(t - d)) & (v(t) = V) & (t >= d) ≡
≡ (s(t) = (a/2)*d^2 + a*d*(t - d)) & (v(t) = V) & (t >= d) ≡
≡ (s(t) = a*d*(t - d/2)) & (v(t) = V) & (t >= d)
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Alice: a = 3 m/s^2; d = 3 s.
* sA(T) = 3*3*(T - 3/2) = 100 ≡ T = 227/18 = 12.6(1) s > d
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Mattia: a = 4.30 = 43/10 m/s^2; d = 2.5 = 5/2 s.
* sM(T) = (43/10)*(5/2)*(T - (5/2)/2) = 100 ≡ T = 1815/172 ~= 10.55 s > d
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RISPOSTE AI QUESITI
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"chi vince?" Mattia.
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"con quale distacco temporale?" 227/18 - 1815/172 = 3187/1548 ~= 2.059 s
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"con quale distacco spaziale?" 100 - 14013/172 = 3187/172 ~= 18.529 m
poiché
* sA(1815/172) = 3*3*(1815/172 - 3/2) = 14013/172 ~= 81.471 m

 

Alice 

S1a = aa/2*t1a^2 = 1,5*3^2 = 13,5 m

Va = aa*t1a = 3*3 = 9 m/sec

t2a = (100-13,5)/9 = 86,5/9 =9,61 sec

ta = t1a+t2a = 9,61+3 = 12,61 sec   

 

Mattia

S1m = am/2*t1m^2 = 2,15*2,5^2 = 13,44 m

Va = am*t1. = 4,3*2,5 = 10,75 m/sec

t2m = (100-13,44)/10,75 = 8,05 sec

tm = t1m+t2m = 8,05+2,5 = 10,55 sec 

 

distacco temporale dt : 10,55-12,61 =  -2,06 sec 

distacco in metri = dt*Va = 2,06*9 = 18,54 m