[Risolto] Monotonia, massimi, minimi, flessi a tg orizz., f(x) crescenti o decrescenti.

$ y(x) = arcsin(x^2-2x) $

• Dominio. 

La funzione arcoseno è definita nell'intervallo [-1, 1] quindi risulta necessario che sia verificata la catena di disequazioni

$ -1 \le x^2-2x \le 1 $

cioè il sistema

$ \left\{\begin{aligned} x^2-2x &\ge -1 \\ x^2-2x &\le 1 \end{aligned} \right. $

i) La prima disequazione equivale a $(x-1)^2 \ge 0$ per cui è verificata per ogni valore di x reale

ii) La seconda disequazione equivale a $ x^2-2x-1 \le 0$  per cui è verificata tra le due radici cioè 

$ 1-\sqrt{2} \le x \le 1+\sqrt{2}$

• Dominio = [1-√2, 1+√2]

nota: c'è un errore di stampa nel testo, anzi più di uno.

La funzione è una composizione di funzioni continue quindi è continua, essendo definita in un compatto (insieme chiuso e limitato) per il teorema di Weirestrass ammette punti di massimo e minimo.

Tali punti sono da ricercare tra:

• Punti interni singolari.

La derivata prima della funzione è $ = \frac{2(x-1)}{\sqrt{(x-1)^2 (-(x^2-2x-1))}} $

L'unico punto interno non singolare è x = 1, dove la funzione vale $ y(1) = -\frac{\pi}{2}$

• Punti interni stazionari. Non ci sono punti stazionari, l'unico candidato è in realtà un punto singolare.
• Punti di frontiera. $ y(1-\sqrt{2}) = y(1+\sqrt{2}) = \frac{\pi}{2} $

 Possiamo così affermare che la funzione possiede un minimo assoluto in x = 1 di valore -π/2.

Analizziamo il tipo di singolarità.

• $ \displaystyle\lim_{x \to 1^-}\frac{2(x-1)}{\sqrt{(x-1)^2 (-(x^2-2x-1))}}   = - \sqrt{2}$ 
• $ \displaystyle\lim_{x \to 1^+}\frac{2(x-1)}{\sqrt{(x-1)^2 (-(x^2-2x-1))}}   = \sqrt{2}$ 

Si tratta di un punto angoloso.