Monotonia e flessi.

i) Funzione

$ y(x) = \frac{x^2-x}{x-6} $

• Dominio = ℝ\{6}
  • La funzione y(x) è continua e derivabile laddove definita

ii) Derivata prima

$ y'(x) = \frac{x^2-12x+6}{(x-6)^2} $

• Zeri derivata prima. y'(x) = 0 le cui due soluzioni sono
  • $x_1 = 6 - \sqrt{30} $
  • $x_2 = 6 + \sqrt{30} $

• Segno derivata prima 

_____6-√30_____6______6+√30____

+++++0-----------------------0++++++   x²-12x+6

++++++++++++X++++++++++++    (x-6)²

+++++0-----------X----------0++++++    y'(x)

....↗.....= .....↘.....X......↘.....=....↗......     y(x)

1. y'(x) < 0  in (6-√30, 6) e in (6, 6+√30). La y(x) è ivi decrescente
2. y'(x) = 0  in x = 6-√30 e in x = 6+√30 due punti stazionari (massimo per x =6-√30 e minimo per x = 6+√30)
3. y'(x) > 0  in (-∞, 6-√30) e in (6+√30, +∞). La y(x) è ivi crescente  

iii) Derivata seconda

y"$(x) = \frac{60}{(x-6)^3} $

• Zeri. Nessuno, non vi sono flessi
• Segno y"(x)

__________6_________

--------------X+++++++   (x-6)³

--------------X+++++++    y"(x)

.......∩........X......∪........     y(x)

1. y"(x) < 0  in (-∞, 6) La funzione y(x) è ivi concava
2. y"(x) = 0  Ø
3. y"(x) > 0  in (6, +∞) La funzione y(x) è ivi convessa

iv) Grafico

https://www.desmos.com/calculator/ichxicxjej