Punti di NON derivabilità

$ y(x) = |x^2-6x| $ (1)

che può essere anche scritta come

$ y(x) = \begin{cases} x^2-6x &\text{ se  x ≤ 0   V   x ≥ 6} \\ 6x - x^2 &\text{se 0 < x < 6} \end{cases} $

• Dominio = ℝ
  • La funzione è continua visto che è composizione di funzioni continue vedi definizione (1)
  • I due tratti della funzione sono derivabili e la loro derivata è

$ y'(x) = \begin{cases} 2x-6 &\text{ se  x < 0   V   x > 6} \\ 6 - 2x &\text{se 0 < x < 6} \end{cases} $

Rimane da trovare il comportamento nei due punti x = 0  e  x = 6.

Per provare che non è derivabile dimostreremo che la derivata sinistra e diversa dalla derivata destra. $D^- y(x_0) ≠ D^+ y(x_0)$.

Usiamo la definizione di derivata laterale per x = 0

$ D^- y(0) ≝ \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \frac{y(0+h) - y(0)} {h} = $

$ = \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \frac{h^2-6h - 0} {h} =\displaystyle\lim_{h \to 0^-} h - 6 = -6 $    

$ D^+ y(0) ≝ \displaystyle\lim_{h \to 0^+} \frac{y(0+h) - y(0)} {h} = $

$ = \displaystyle\lim_{h \to 0^+} \frac{6h - h^2} {h} =\displaystyle\lim_{h \to 0^+} 6 - h = 6 $

Le due derivate laterali sono diverse, quanto basta per affermare che la funzione y(x) non è derivabile per x = 0.

Analogamente si procede per dimostrare che la funzione non è derivabile nel punto x = 6.

In particolare,

$D^- y(6) = -6$

$D^+ y(6) = 6$    

Grafico associato.

https://www.desmos.com/calculator/fgt8kic3vo