Molteplicità algebrica

Question

Sono riuscita a dimostrare la seguente proposizione per $k=2$, dato che mi serviva per un esercizio sugli operatori simmetrici. Ho provato a generalizzare l'enunciato, qualcuno può dirmi se è valido, con dimostrazione, per ogni $k$? Pensavo di dimostrarlo per induzione.

Sia $ p(x) $ un polinomio a coefficienti reali o complessi e sia $ a \in \mathbb{C} $.
Se $ p(a) = p'(a) = \cdots = p^{(k-1)}(a) = 0 $, allora $ a $ è una radice di molteplicità almeno $ k $ per $ p(x) $.
Inoltre, se $ p^{(k)}(a) \neq 0 $, la molteplicità di $ a $ è esattamente $ k $.

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RebC

(@rebc)

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08/07/2025 20:14

n_f · Accepted Answer

Io considererei semplicemente lo sviluppo in serie di Taylor del polinomio con centro in $x_0=a$, che ovviamente coincide con il polinomio stesso:

$\displaystyle T[p(x)] = p(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{p^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

Poiché sappiamo che $p(a)=p'(a)=...=p^{(k-1)}(a)=0$ possiamo riscrivere come:

$\displaystyle p(x)= \sum_{n=k}^\infty \frac{p^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

e mettendo in evidenza il termine comune:

$\displaystyle p(x) = (x-a)^k\sum_{n=k}^\infty \frac{p^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n-k}$

e dunque la molteplicità è (almeno) $k$

n_f

(@n_f)

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09/07/2025 17:36

[Risolto] Molteplicità algebrica

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