[Risolto] Mi date una mano

Le equazioni sono tutte nella froma

$y = ax^2+bx +c$

Il vertice $V =(x_v,y_v)$ di una parabola con asse verticale risulta essere

$x_v = -\dfrac{b}{2a}$ , $y_v =\dfrac{4ac -b^2}{4a}$ (più facilmente, trovato xv lo si sostituisce all'interno dell'equazione per trovare yv).

Asse simmetria $x = -\dfrac{b}{2a}$

I) $y = x^2-5x +6$

$v_x = \dfrac{5}{2}$ , $y_v =-\dfrac {1}{4}$, asse $x = \dfrac{5}{2}$

I quattro punti (sostituendo il valore x all'interno dell''equazione)

x=0  $\to$ y=6

x= 1 $\to$ y =2

x=-1 $\to$ y = 12

y = 6 $\to$ x = 0 , x=5 (sostituendo il valore y all'interno dell''equazione e ricavando x)

+ passaggio vertice

Le altre si studiano in modo analogo e graficamente si ottiene

ESAME DEL PROBLEMA
Tutt'e tre le equazioni hanno la forma "y = p(x)" quindi rappresentano parabole con asse di simmetria parallelo all'asse y per cui è sufficiente determinarne il vertice V(w, h) portando le equazioni, per completamento di quadrato, alla forma
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
dopodiché si hanno
* asse di simmetria: x = w
* punti simmetrici: x = w ± d ≡ y = h + a*(w ± d - w)^2 = h + a*d^2
Per calcolare i quattro punti richiesti su ordinate a una e due distanze focali dal vertice si calcolano le intersezioni di Γ con le rette
* y = h + 1/(4*a)
* y = h + 1/(2*a)
ottenendo le coordinate su cui basare il tracciamento
* A(w - √2/(2*a), h + 1/(2*a))
* B(w + √2/(2*a), h + 1/(2*a))
* C(w + 1/(2*a), h + 1/(4*a))
* D(w - 1/(2*a), h + 1/(4*a))
* V(w, h)
che si possono anche ottenere in un colpo solo da un software di calcolo, come soluzioni del sistema di Γ con la cubica γ che rappresenta le tre rette secanti
* γ ≡ (w - x)*(2*a*(h - y) + 1)*(4*a*(h - y) + 1) = 0
==============================
CALCOLI
------------------------------
A) Mettere in evidenza il coefficiente direttore (l'apertura della parabola).
1) y = x^2 - 5*x + 6
2) y = - x^2 + 4*x ≡ y = - (x^2 - 4*x)
3) y = x^2 - 3*x
------------------------------
B) Completare il quadrato dei termini variabili; semplificare.
1) y = x^2 - 5*x + 6 ≡ y = (x - 5/2)^2 - (5/2)^2 + 6 ≡ y = (x - 5/2)^2 - 1/4
2) y = - (x^2 - 4*x) ≡ y = - ((x - 2)^2 - 2^2) ≡ y = 4 - (x - 2)^2
3) y = x^2 - 3*x ≡ y = (x - 3/2)^2 - (3/2)^2 ≡ y = (x - 3/2)^2 - 9/4
------------------------------
C) Rilevare i parametri (a, w, h) con cui formare la cubica.
1) y = (x - 5/2)^2 - 1/4 ≡ (a, w, h) = (1, 5/2, - 1/4)
2) y = 4 - (x - 2)^2 ≡ (a, w, h) = (- 1, 2, 4)
3) y = (x - 3/2)^2 - 9/4 ≡ (a, w, h) = (1, 3/2, - 9/4)
---------------
1) γ ≡ (5/2 - x)*(2*(- 1/4 - y) + 1)*(4*(- 1/4 - y) + 1) = 0 ≡ (2*x - 5)*y*(4*y - 1) = 0
2) γ ≡ (2 - x)*(- 2*(4 - y) + 1)*(- 4*(4 - y) + 1) = 0 ≡ (x - 2)*(2*y - 7)*(4*y - 15) = 0
3) γ ≡ (3/2 - x)*(2*(- 9/4 - y) + 1)*(4*(- 9/4 - y) + 1) = 0 ≡ (2*x - 3)*(y + 2)*(4*y + 7) = 0
------------------------------
D) Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" ai seguenti link.
---------------
1) http://www.wolframalpha.com/input?i=%28y%3D%28x-5%2F2%29%5E2-1%2F4%29%26%28%282*x-5%29*y*%284*y-1%29%3D0%29
---------------
2) http://www.wolframalpha.com/input?i=%28y%3D4-%28x-2%29%5E2%29%26%28%28x-2%29*%282*y-7%29*%284*y-15%29%3D0%29
---------------
3) http://www.wolframalpha.com/input?i=%28y%3D%28x-3%2F2%29%5E2-9%2F4%29%26%28%282*x-3%29*%28y--2%29*%284*y--7%29%3D0%29