Mi aiutate con il numero 380 ,disegnandomi il grafico

Osservando il grafico di $f(x)$, possiamo dedurre un po' di cosette:

- La funzione presenta un asintoto verticale in $x = -1$. Il dominio quindi è $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
- La curva interseca l'asse delle ascisse nei punti di coordinate $(0, 0)$ e $(2, 0)$.

- In $x = -2$ è presente un punto di minimo relativo, dove $f(-2) = 1$.
- In $x = 1$ è presente un punto di massimo relativo, dove $f(1) = \frac{3}{2}$.

- La funzione è decrescente per $x \in (-\infty, -2)$ e per $x \in (1, +\infty)$.
- La funzione è crescente per $x \in (-2, -1)$ e per $x \in (-1, 1)$.

- Per $x < -1$, la curva volge la concavità verso l'alto (funzione convessa).
- Per $x > -1$, la curva volge la concavità verso il basso (funzione concava).

Per tracciare il tragico della derivata (prima immagino) dobbiamo ricordarci che questa rappresenta l'andamento del coefficiente angolare della retta tangente alla curva $f(x)$.

Intersezioni con l'asse $x$:
Poiché $f(x)$ ha punti stazionari in $x = -2$ e $x = 1$, la derivata si annulla in tali punti:
$$f'(-2) = 0 \quad \text{e} \quad f'(1) = 0$$

Segno:
- $f'(x) < 0$ negli intervalli $(-\infty, -2)$ e $(1, +\infty)$, dove $f(x)$ è decrescente.
- $f'(x) > 0$ negli intervalli $(-2, -1)$ e $(-1, 1)$, dove $f(x)$ è crescente.

Limiti e asintoti:
- In corrispondenza dell'asintoto verticale di $f(x)$, la pendenza della curva diventa infinitamente grande e positiva sia da sinistra che da destra. Quindi:
$$\lim_{x \to -1^-} f'(x) = +\infty \quad \text{e} \quad \lim_{x \to -1^+} f'(x) = +\infty$$
- Il grafico di $f'(x)$ presenterà quindi un asintoto verticale in $x = -1$ con entrambi i rami rivolti verso l'alto.

Monotonia:
- Per $x < -1$, $f(x)$ è convessa, dunque $f'(x)$ è una funzione crescente.
- Per $x > -1$, $f(x)$ è concava, dunque $f'(x)$ è una funzione decrescente.

Con queste informazioni possiamo tracciarci il grafico della derivata