[Risolto] MAX, MIN, FLESSI, CONCAVITA'

y = x^3 - k·x^2 + 3·x - 1

ha le due derivate pari a:

y' = 3·x^2 - 2·k·x + 3

y'' =  6·x - 2·k

siccome entrambe si annulla nel punto richiesto deve essere :

y' = y''

3·x^2 - 2·k·x + 3 = 6·x - 2·k

equazione di secondo grado che risolta fornisce:

x = (2·k + 3)/3 ∨ x = 1

per x = 1

3·1^2 - 2·k·1 + 3 = 0----> 6 - 2·k = 0

quindi: k = 3

per x = (2·k + 3)/3

3·((2·k + 3)/3)^2 - 2·k·((2·k + 3)/3) + 3 = 0

2·k + 6 = 0----> k = -3

Punti stazionari sono le ascisse in cui è zero la derivata prima.
Punti di flesso sono le ascisse in cui è zero la derivata seconda.
Risolvendo il sistema dei due azzeramenti si determinano k ed x.
* f(x, k) = y = x^3 - k*x^2 + 3*x - 1
* f'(x, k) = 3*x^2 - 2*k*x + 3
* f''(x, k) = 2*(3*x - k)
* (2*(3*x - k) = 0) & (3*x^2 - 2*k*x + 3 = 0) ≡
≡ (x = k/3) & (3*(k/3)^2 - 2*k*k/3 + 3 = 0) ≡
≡ (x = k/3) & (3 - k^2/3 = 0) ≡
≡ (k = - 3) & (x = - 1) oppure (k = 3) & (x = 1)
quindi
* f(x, - 3) = y = x^3 + 3*x^2 + 3*x - 1
* f(x, + 3) = y = x^3 - 3*x^2 + 3*x - 1
Vedi i flessi orizzontali al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3Dx%5E3--3*x%5E2--3*x-1%2Cy%3Dx%5E3-3*x%5E2--3*x-1%5Dx%3D-3to3%2Cy%3D-3to3