Dati i punti A(1;0) B(2;1/3) C(-5;-2) dimostra che sono allineati e scrivi l'equazione della retta:
a a cui appartengono
b passante per il punto medio del segmento gli estremi A e C e parallela a y=-5+1/2
c passante per B e per l'origine degli assi
d passante per C e perpendicolare a 2x-5=0
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a. Per capire se tre punti sono allineati, bisogna calcolare l'equazione della retta passante per 2 dei 3 punti e poi verifico che il terzo punto appartenga a questa retta. Quindi scrivo l'equazione della retta che passa per A e per C:
$\frac{y-y_A}{y_C-y_A}=\frac{x-x_A}{x_C-x_A}$
$\frac{y}{-2}=\frac{x-1}{-5-1}$
$-\frac{y}{2}=-\frac{x-1}{6}$
m.c.m.
$-\frac{3y}{6}=-\frac{x-1}{6}$
r:x-3y-1=0
Sostituisco le coordinate del punto B nell'equazione di r:
$2-3*\frac{1}{3}-1=0$
0=0
b. Le coordinate del punto medio di AC sono:
$x_M=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{1-5}{2}=-2$
$y_M=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{0-2}{2}=-1$
Quindi M(-2;-1)
La retta data ha coefficiente angolare m=-5. Quindi anche la retta che devi trovare (la chiamo s) avrà il medesimo coefficiente angolare. In particolare, la retta s ha equazione:
$y-y_M=m(x-x_M)$
$y+1=-5(x+2)$
$y=-1-5x-10$
s:y=-5x-11
c. L'equazione della retta passante per due punti è:
$\frac{y-y_O}{y_B-y_O}=\frac{x-x_O}{x_B-x_O}$
$\frac{y}{2}=\frac{x}{1/3}$
$\frac{y}{2}=3x$
m.c.m.
$\frac{y}{2}=\frac{6x}{2}$
t:6x-y=0
d. La retta data è parallela all'asse y. Quindi la retta che devi trovare (la chiamo u) sarà parallela all'asse x. In particolare, la retta u ha equazione:
y=k dove k è l'ordinata del punto in cui la retta interseca l'asse delle y.
Quindi:
u:y=-2
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Livello 5
a)
Equazione della retta passante per i punti A e B :
Yb-Ya = 1/3-1 = 1/3
Xb-Xa = (2-1) = 1
coeff. angolare m = (Yb-Ya)/(Xb-Xa) = 1/3
ordinata all'origine q = -1/3
y = (x-1)/3 ...oppure 3y = x-1
sostituendo ad x il valore -5 ottengo :
3y = -5-1 = -6
y = -6/3 = -2
a dimostrazione che il punto C appartiene alla stessa retta (3y = x-1) cui appartengono A e B
b)
retta data : y = -9/2 (parallela alle ascisse)
Yc - Ya= -2-0 = -2
ordinata media Ym = -2/2 = -1
equazione della retta : y = -1
c)
Yb-Yo = 1-0 = 1
Xb-Xo = (2-0) = 2
coeff. angolare m = (Yb-Yo)/(Xb-Xo) = 1/2
ordinata all'origine q = 0
y = x/2
d)
retta data : x = 5/2 ..parallela all'asse delle ordinate
retta : y = -2 .... parallela all'asse delle ascisse
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