[Risolto] Matematica quesito 4

Il punto P ha coordinate [k; radice (k)] ; K>0

Il coefficiente angolare della retta tangente è:

m_t = 1/(2a*y0) = 1/[2*radice (K)]

(coefficiente angolare della retta tangente ad un arco di parabola x=y² ; y>0) 

Coefficiente angolare della retta normale:

m_n = - 2*radice (k)

Le equazioni della tangente e della normale sono:

t: y - radice (k) = m_t * (x - k) 

n: y - radice (k) = m_n * (x - k) 

I triangoli rettangoli dei quali devi valutare il rapporto delle aree sono simili.  Il rapporto tra le superfici deve essere 4/3, il rapporto tra lati omologhi deve essere:

K= radice (4/3) = 2/radice (3)

(rapporto di similitudine dei due poligoni)

Quindi:

OA/PA = 2/radice 3

Utilizziamo l'equazione della retta normale per determinare le coordinate di A

O=(0;0)

A=[(1+2k)/2 ; 0]

P= (k; radice k)

Imponendo la condizione richiesta si ricava:

(1+2k)/2 = (2/radice 3)* radice (k+1/4)

(1+2k) = (4/radice 3)* radice (k+1/4)

Da cui si ricava la soluzione accettabile:

k= 1/2

Quindi: P = [1/2 ; radice (1/2)]

Il grafico della funzione
* f(x) = y = √x
ha pendenza, pari a quella della sua retta tangente,
* m(x) = dy/dx = 1/(2*√x)
mentre quella della sua retta normale è
* m' = - 1/m = - dx/dy = - 2*√x
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Per il punto P(k, √k) con k > 0 passano, oltre alla x = k, tutte le rette
* r(m) ≡ y = √k + m*(x - k)
fra le quali la tangente e la normale
* t ≡ r(1/(2*√x)) ≡ y = √k + (x - k)/(2*√k) ≡ y = (x + k)/(2*√k)
* n ≡ r(- 2*√x) ≡ y = √k - 2*(x - k)*√k ≡ y = (2*k + 1 - 2*x)*√k
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Le intersezioni di tangente e normale con gli assi sono
* (y = (x + k)/(2*√k)) & (x*y = 0) & (k > 0) ≡ B(- k, 0) oppure D(0, √k/2)
* (y = (2*k + 1 - 2*x)*√k) & (x*y = 0) & (k > 0) ≡ C(0, (2*k + 1)*√k) oppure A((2*k + 1)/2, 0)
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L'area S dei triangoli rettangoli è il semiprodotto dei cateti.
* S(AOC) = |OA|*|OC|/2 = |(2*k + 1)/2|*|(2*k + 1)*√k|/2 = (√k)*(2*k + 1)^2/4
* S(APB) = |PA|*|PB|/2 = |((2*k + 1)/2, 0) - (k, √k)|*|(- k, 0) - (k, √k)|/2 =
= |((2*k + 1)/2 - k, √k)|*|(- 2*k, √k)|/2 =
= √(((2*k + 1)/2 - k)^2 + (√k)^2)*√((- 2*k)^2 + (√k)^2)/2 =
= (4*k + 1)*√k/4
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Il richiesto rapporto è
* S(AOC)/S(APB) = ((√k)*(2*k + 1)^2/4)/((4*k + 1)*√k/4) = (2*k + 1)^2/(4*k + 1)
e il valore richiesto è la soluzione di
* ((2*k + 1)^2/(4*k + 1) = 4/3) & (k > 0) ≡
≡ k = 1/2
da cui
* t ≡ y = (x + 1/2)/(2*√(1/2)) ≡ y = x/√2 + 1/(2*√2)
* n ≡ y = y = (2*1/2 + 1 - 2*x)*√(1/2) ≡ y = (1 - x)*√2
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Vedi il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D%E2%88%9Ax%2C%28x%2F%E2%88%9A2-y-1%2F%282*%E2%88%9A2%29%29*%28%281-x%29*%E2%88%9A2-y%29%3D0%5D

La risposta é xo = 1/2 ?