MATEMATICA PROBLEMA IPERBOLE

la chiave alla soluzione del problema sta qui

https://www.youmath.it/formulari/formulari-di-geometria-analitica/454-funzione-omografica.html

Osservando che c = 1 e d = 2

k = (bc - ad)/c^2 = (b-2a)/1^2 = b - 2a

Se supponiamo k > 0

allora V = ( -d/c + rad(k),  a/c + rad(k) )

e questo porta a

- 2 + rad(k) = 2

a +  rad(k) = 5

sottraendo  a + 2 = 3 => a = 1

rad(k) = 5 - 1 = 4 => k = 16

b - 2a = 16 =>  b = 2*1 + 16 = 18

y = (x+18)/(x+2)

e il grafico é

https://www.desmos.com/calculator/cmrshhrcxt

@giorgio_melone

Ciao e benvenuto.

La funzione omografica: y = (a·x + b)/(x + 2)

è una iperbole equilatera. Si riconosce che:

y = a è asintoto orizzontale (rapporto fra i coefficienti delle x)

x=-2 è asintoto verticale (per tale valore si annulla il denominatore)

Quindi il centro dell'iperbole è  [-2, a]

Per il vertice [2, 5] passa l'iperbole quindi si semplifica la struttura:

5 = (a·2 + b)/(2 + 2)----> 5 = (2·a + b)/4---> b = 20 - 2·a

y = (a·x + (20 - 2·a))/(x + 2)

A questo punto calcolo la retta per i due punti: vertice e centro

(y - a)/(x + 2) = (5 - a)/(2 + 2)--------> y = x·(5 - a)/4 + (a + 5)/2

So che tale retta ha coefficiente angolare m=1:

(5 - a)/4 = 1-----> a = 1

Equazione trovata!

y = (1·x - 2·(1 - 10))/(x + 2)----> y = (x + 18)/(x + 2)

La generica iperbole del fascio
* Γ(a, b) ≡ y = (a*x + b)/(x + 2)
centrata all'incrocio degli asintoti in C(- 2, a) ha i vertici V alle intersezioni, se esistono, con le parallele per C alle diagonali dei quadranti.
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Quadranti pari
* (y = a - (x + 2)) & (y = (a*x + b)/(x + 2)) ≡
≡ (a > b/2) & ((x = - 2 - √(2*a - b)) & (y = a + √(2*a - b)) oppure (x = - 2 + √(2*a - b)) & (y = a - √(2*a - b)))
da cui
* (a > b/2) & ((2 = - 2 - √(2*a - b)) & (5 = a + √(2*a - b)) oppure (3 = - 2 + √(2*a - b)) & (5 = a - √(2*a - b))) ≡
≡ (a > b/2) & ((insieme vuoto) oppure (a = 10) & (b = - 5)) ≡
≡ (a > b/2) & (a = 10) & (b = - 5) ≡
≡ (a = 10) & (b = - 5)
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Quadranti dispari
* (y = a + (x + 2)) & (y = (a*x + b)/(x + 2)) ≡
≡ (a < b/2) & ((x = - 2 - √(b - 2*a)) & (y = a - √(b - 2*a)) oppure (x = - 2 + √(b - 2*a)) & (y = a + √(b - 2*a)))
da cui
* (a < b/2) & ((2 = - 2 - √(b - 2*a)) & (5 = a - √(b - 2*a)) oppure (2 = - 2 + √(b - 2*a)) & (5 = a + √(b - 2*a))) ≡
≡ (a < b/2) & ((insieme vuoto) oppure (a = 1) & (b = 18)) ≡
≡ (a < b/2) & (a = 1) & (b = 18) ≡
≡ (a = 1) & (b = 18)
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«Determina per quali valori di a e b l'iperbole di equazione y= (ax+b)/(x+2) ha un vertice nel punto di coordinate (2,5)»
Per
* (a, b) in {(10, - 5), (1, 18)}
da cui le due iperboli
* Γ(10, - 5) ≡ y = (10*x - 5)/(x + 2)
* Γ(1, 18) ≡ y = (x + 18)/(x + 2)
Verifiche nel paragrafo "Properties" ai link
http://www.wolframalpha.com/input?i=plane+curve+%28x%2B2%29*y%3D%2810*x-5%29
http://www.wolframalpha.com/input?i=plane+curve+%28x%2B2%29*y%3D%28x%2B18%29
da cui si vede che Γ(10, - 5) è una soluzione spuria introdotta dalle quadrature e che l'unica iperbole che soddisfà alla condizione è
* Γ(1, 18) ≡ y = (x + 18)/(x + 2)