É data l'equazione √(2)x² - 2x -6 = 0 ; senza risolverla, verifica che $\frac{1}{x₁²}$ + $\frac{1}{x₂²}$ = $\frac{1+3√2}{9}$
mi aiutate? grazie❤️
É data l'equazione √(2)x² - 2x -6 = 0 ; senza risolverla, verifica che $\frac{1}{x₁²}$ + $\frac{1}{x₂²}$ = $\frac{1+3√2}{9}$
mi aiutate? grazie❤️
Data l'equazione di secondo grado :
ax²+bx+c=0
La somma delle radici è - b/a
Il prodotto è c/a
Senza togliere nulla alla trattazione , le radici le chiamo: α e β.
Quindi vedo a cosa è uguale:
1/α^2 + 1/β^2= (α^2 + β^2)/(α^2·β^2)
Quindi:
(s^2 - 2·p)/p^2 in cui
s= somma delle radici
p= prodotto
Ma esiste un legame tra somma e prodotto delle radici con i coefficienti dell'equazione:
((- b/a)^2 - 2·(c/a))/(c/a)^2 =(b^2 - 2·a·c)/c^2
√2·x^2 - 2·x - 6 = 0
a = √2
b = -2
c = -6
((-2)^2 - 2·√2·(-6))/(-6)^2= (3·√2 + 1)/9
Se vuoi fare presto
x1^2 + x2^2 = (B^2 - 2AC)/C^2 = (4 - 2 rad(2) *(-6))/36 = (1 + 3 rad(2))/9
La somma degl'inversi di due valori è il rapporto fra la loro somma s e il loro prodotto p
* 1/a + 1/b = s/p = (a + b)/(a*b)
La somma degl'inversi dei loro quadrati è
* 1/a^2 + 1/b^2 = (1/a + 1/b)^2 - 2/(a*b) = (s/p)^2 - 2/p = (s^2 - 2*p)/p^2
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Dividendo membro a membro l'equazione data per il suo coefficiente direttore
* (√2)*x^2 - 2*x - 6 = 0 ≡
≡ x^2 - (2/√2)*x - 6/√2 = 0
se ne ottiene la forma normale canonica monica nella quale il coefficiente del termine lineare è l'opposto della somma s delle radici (s = 2/√2) e il termine noto è il loro prodotto p (p = - 6/√2).
Pertanto la somma degl'inversi dei quadrati delle radici è
* 1/(x1)^2 + 1/(x2)^2 = (s^2 - 2*p)/p^2 =
= ((2/√2)^2 - 2*(- 6/√2))/(- 6/√2)^2 = (1 + 3*√2)/9
che è proprio la verifica richiesta.