[Risolto] Matematica disequazioni.

Ciao!

Quel " > 0" messo li senza niente mi fa pensare che prima ci fosse un $\Delta$, in modo che le risposte fossero $\Delta > 0$ e $a > 0$ etc...

Quindi lo risolvo pensando a questa cosa!

Lo schema che seguiremo è il seguente:

 

3      Una disequazione del tipo $ax^2 +bx +c < 0$ ammette come insieme delle soluzioni un intervallo  limitato  del campo dei numeri reali se:

         A    >0   e     a>0 Infatti ci troviamo nel caso in alto a sinistra: $\Delta > 0$ garantisce l'esistenza di due soluzioni, mentre il fatto che $a > 0$ ma la disequazione sia $< 0$ significa che la soluzione è nell'intervallo delimitato dai due valori, perché dobbiamo considerare quei valori di $x$ che ci fanno prendere i valori sotto l'asse $x$ della parabola, ossia $x \in [valore_1; valore_2]$

         B    <0   e     a>0

         C    >0   e     a<0

         D    <0   e     a<0                                      

14      Una disequazione del tipo $ax^2 +bx +c > 0$ ammette come insieme delle soluzioni un intervallo  limitato  del campo dei numeri reali se:

         A    >0   e     a>0

         B    <0   e     a>0

         C    >0   e     a<0 Come prima siamo nel caso in basso a sinistra: $\Delta > 0$ garantisce l'esistenza di due soluzioni, mentre il fatto che $a < 0$ ma la disequazione sia $> 0$ significa che la soluzione è nell'intervallo delimitato dai due valori, perché dobbiamo prendere i valori di $x$ che fanno stare la parabola sopra l'asse $x$, ossia $x \in [valore_1; valore_2]$

         D    <0   e     a<0                                         

15      Una disequazione del tipo $ax^2 +bx +c > 0$  ammette come insieme delle soluzioni tutto il campo dei numeri reali se:

        A    <0   e     a >0 Infatti siamo nel caso in alto centrale: Poichè $\Delta < 0$ significa che l'equazione associata alla disequazione, cioè $ax^2+bx+c = 0$, non ha soluzioni, ossia la parabola descritta da $ax^2+bx+c$ non ha intersezioni con l'asse $x$, quindi sta o "tutta sopra" l'asse delle $x$ o "tutta sotto" di essa. Poiché $a >0$, allora la parabola avrà concavità rivolta verso l'alto, quindi per non intersecare l'asse delle $x$ dovrà stare tutta sopra di essa.

         B    >0   e     a<0

         C    >0   e     a>0

         D    <0   e     a<0                                     

16      Sono date le seguenti disequazioni: :     $x^2-1 <0$     e   $1-x^2<0$

Possiamo affermare che:

A. l'unione dei loro insiemi soluzione è l'insieme dei numeri reali

B    l’intersezione dei loro insiemi soluzione contiene lo zero.

C    le disequazioni non hanno soluzioni comuni.

D    le disequazioni sono equivalenti.         

 

 

Nel primo caso abbiamo: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $\Delta = 1 > 0$ e $a>0$; dato che la disequazione prevede $<0$, abbiamo che dobbiamo considerare l'intervallo valori interni quindi $x \in (1, -1)$    

Nel secondo caso, invece, $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $\Delta = 1 > 0$ ma $a < 0$, quindi, viceversa, dobbiamo prendere valori esterni:

$x < -1 \vee x > 1 $

Quindi la soluzione è la C, perché non ci sono elementi comuni tra l'intervallo $(-1;1)$ e $(-\infty; -1) \cup (1; \infty)$