Determina la traslazione $t$ che trasforma il grafico $G$ della funzione $y=f(x)=\frac{x^2-1}{x}$ nel grafico $G^{\prime}$ della funzione $y=g(x)=\frac{x^2+5 x+5}{x+2}$. Dopo aver verificato che $G$ è simmetrico rispetto all'origine $O$, verifica che $G^{\prime}$ è simmetrico rispetto al punto $C=t(O)$.
[Traslazione di vettore $\vec{v}(-2,1)$ ]
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Livello 0
Affrontiamo il problema nel modo canonico.
Ponendo
x' = x + a
y' = y + b
x = x' - a
y = y' - b
y' - b = [(x' - a)^2 - 1]/(x' - a)
e allora
y = [ b (x - a) + (x - a)^2 - 1 ]/(x - a)
deve essere identica a
y = (x^2 + 5x + 5)/(x + 2)
il che comporta
-a = 2 => a = -2
x^2 - 2ax + a^2 + bx - ab - 1 = x^2 - 5x + 5
che, per il principio di identità dei polinomi,
si spezza in
-2a + b = 5 => -2*(-2) + b = 5 => b = 5 - 4 = 1
e
a^2 - ab - 1 = 5
4 - (-2)*1 - 1 = 4 + 2 - 1 = 5 Ok
v = (-2, 1)
Seconda parte
y = (x^2 - 1)/x é dispari
y(-x) = y(x)
e quindi é simmetrica rispetto all'origine.
Per l'ultima richiesta bisogna far vedere che il legame funzionale
y = (x^2 + 5x + 5)/(x + 2)
é invariante sotto la simmetria centrale espressa da
x -> -4 - x
y -> 2 - y
e sono solo calcoli. Risulta infatti
2 - y = [ (-4 - x)^2 + 5(-4 - x) + 5]/(-4 - x - 2)
y = 2 + [(x + 4)^2 - 5(x + 4) + 5]/(x + 2)
y = [ 2x + 4 + x^2 + 8x + 16 - 5x - 20 + 5 ]/(x + 2)
e riducendo i termini simili
y = (x^2 + 5x + 5)/(x + 2)
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Livello 7
