In un triangolo $A B C$ si ha $A(0 ; 0)$ e $B(5 ; 3)$ e si sa che l'ortocentro è $D(2 ; 3)$. Trova $C$. $C\left(0 ; \frac{19}{3}\right)$
In un triangolo $A B C$ si ha $A(0 ; 0)$ e $B(5 ; 3)$ e si sa che l'ortocentro è $D(2 ; 3)$. Trova $C$. $C\left(0 ; \frac{19}{3}\right)$
29
punti
Livello 0
Dal punto D(2, 3) passano tutte e sole le rette
* x = 2
* h(k) ≡ y = 3 + k*(x - 2)
fra cui quelle, ortogonali ai lati, su cui giacciono le altezze del triangolo ABC di vertici
* A(0, 0), B(5, 3), C(incognite del problema).
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Il lato AB sta sulla retta
* AB ≡ y = 3*x/5
di pendenza 3/5; quindi l'altezza su AB sta sulla
* h(AB) ≡ y = 3 + (- 5/3)*(x - 2) ≡ y = (19 - 5*x)/3
e il vertice C deve starci anch'esso
* C(u, (19 - 5*u)/3)
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L'ortocentro H del triangolo ABC di vertici A(0, 0), B(5, 3), C(u, (19 - 5*u)/3) è
* H((95/34)*(u - 2)/(u - 95/34), (57/34)*(u - 5)/(u - 95/34))
che coincide con quello dato
* ((95/34)*(u - 2)/(u - 95/34), (57/34)*(u - 5)/(u - 95/34)) = (2, 3) ≡ u = 0
se e solo se C(0, 19/3), che è proprio il risultato atteso.
57798
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Genius I
115485
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Genius III