A student claimed that the function:
$$
y=2\left(x_1-x_2\right)^2-x_1^4-x_2^4
$$
admits three critical points which are local maximum. Do you agree with her $/$ him? Explain your answer.
A student claimed that the function:
$$
y=2\left(x_1-x_2\right)^2-x_1^4-x_2^4
$$
admits three critical points which are local maximum. Do you agree with her $/$ him? Explain your answer.
67
punti
Livello 1
Uno studente ha affermato che la funzione:
z=2(x-y)^2-x^4-y^4
ammette tre punti critici che sono massimi locali. Sei d’accordo con lei/lui? Spiega la tua risposta.
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La funzione polinomiale data ha 2 punti di massimo locale:
in [√2, - √2] ed in [- √2, √2] in cui assume valore z=8
come verificabile anche con: WOLFRAMALPHA:
Ammette un terzo punto critico in [0,0]
però l’Hessiano in tale punto è nullo quindi dobbiamo cercare nell’intorno di (x=0, y=0). A tal fine consideriamo il sistema:
{z = 2·(x - y)^2 - x^4 – y^4
{y = k·x
Quindi determiniamo una sezione della funzione:
z = 2·x^2·(k - 1)^2 - x^4·(k^4 + 1)
che ammette come derivata 2^:
z’’(x)=4·(k - 1)^2 - 12·x^2·(k^4 + 1)
per x=0 e k ≠ 1
è positiva e quindi concavità rivolta verso l’alto il che non fornisce max relativo ( e quindi locale per la funzione in esame)
115479
punti
Genius III