Data la funzione $f(x)=\frac{\ln (|2 x+1|)-2)}{x-4}$ :
a. determina il dominio e studia il comportamento di $f(x)$ ai suoi estremi;
b. dimostra che negli intervalli $\left[-3 ;-\frac{7}{4}\right]$ e $\left[\frac{3}{4} ; 3\right]$ si annulla almeno una volta;
c. calcola le soluzioni di $f(x)=0$;
d. traccia il grafico probabile.
[a) $D: x<-\frac{3}{2} \vee x>\frac{1}{2} \wedge x \neq 4 ;$ c) $x_1=-2, x_2=1$
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Livello 1
y = LN(ABS(2·x + 1) - 2)/(x - 4)
a) determina il dominio e studia il comportamento di y ai suoi estremi
{ABS(2·x + 1) - 2 > 0
{x - 4 ≠ 0
Risolvo ed ottengo:
{x < - 3/2 ∨ x > 1/2
{x ≠ 4
Quindi: C.E. [x < - 3/2,x ≠ 4 ∧ x > 1/2]
Condizioni agli estremi del C.E.
LIM(LN(ABS(2·x + 1) - 2)/(x - 4))= 0
x--> -∞
LIM(LN(ABS(2·x + 1) - 2)/(x - 4)) = +∞
x--->(1/2)+
LIM(LN(ABS(2·x + 1) - 2)/(x - 4)) = -∞
x---> 4-
LIM(LN(ABS(2·x + 1) - 2)/(x - 4)) = +∞
x--->4+
LIM(LN(ABS(2·x + 1) - 2)/(x - 4)) = 0
x---> +∞
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b) dimostra che negli intervalli [−3;−7/4] e [3/4;3] si annulla almeno una volta
Negli intervalli dati la funzione è continua.
x = -3 : y = LN(ABS(2·(-3) + 1) - 2)/(-3 - 4) = - LN(3)/7 <0
x = - 7/4: y = LN(ABS(2·(- 7/4) + 1) - 2)/(- 7/4 - 4) = 4·LN(2)/23 >0
Si annulla almeno una volta
x = 3/4: y = LN(ABS(2·(3/4) + 1) - 2)/(3/4 - 4) = 4·LN(2)/13 >0
x = 3: y = LN(ABS(2·3 + 1) - 2)/(3 - 4)= - LN(5)<0
si annulla almeno una volta
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c) calcola le soluzioni di f(x)=0
LN(ABS(2·x + 1) - 2) = 0
ABS(2·x + 1) - 2 = 1
ABS(2·x + 1) = 3
quindi: 2x+1=3 v 2x+1=-3
x = 1 v x = -2
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Genius III
