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 Buongiorno, qualcuno gentilmente può aiutarmi a questo esercizio sul principio di induzione.

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1

Per n = 1 é vero per disuguaglianza stretta

3^1 = 3 > 1

 

Sia vero per il generico n

Passo di induzione

3^(n+1) = 3^n * 3 >= 3 * n > n + 1

per ogni n in N   3n é maggiore di n + 1

@eidosm scusami ma non capisco il passaggio con 3^n+1 me lo potrebbe gentilmente rispiegare

 

3^(n+1) é l'elemento protagonista del passo successivo a n

3^(n+1) = 3^n * 3^1 = 3*3^n per proprietà delle potenze,

poiché per ipotesi di induzione 3^n >= n, allora 3*3^n >= 3*n = 3n

infine 3n > n + 1 perché ogni elemento di n é maggiore di 1/2.

Per proprietà transitiva  3^(n+1) >= 3 n > n + 1

e da qui la tesi   3^(n+1) > n + 1

@eidosm grazie mille

 




1

La disequazione
* 3^n >= n
per n intero positivo è solo un sottocaso dell'analoga
* b^x > x
vera per ogni x reale e per ogni b positivo.
---------------
Limitando n ai naturali il CASO BASE è per n = 1
* 3^1 = 3 >= 1 ≡ VERO
--------
L'IPOTESI INDUTTIVA è che sia vero 3^n >= n
La TESI è che ciò implichi 3^(n + 1) >= n + 1
--------
* 3*(3^n >= n) ≡ 3^(n + 1) >= 3*n >= n + 1
* (3*n >= n + 1) & (n >= 1) ≡
≡ (n >= 1/2) & (n >= 1) ≡ VERO
QED

@exprof  grazie mille ma appunto non riesco a capire cosa c'è scritto* 3*(3^n >= n) ≡ 3^(n + 1) >= 3*n >= n + 1
* (3*n >= n + 1) & (n >= 1) ≡
≡ (n >= 1/2) & (n >= 1) ≡ VERO
QED se per caso me lo potresti fare gentilmente sul foglio

 

@aurora10 (messaggio) @Sofia02 (commento qui sopra)
Non posso mettere foto di fogli di carta che non ho scritto.
Io scrivo su una tastiera di computer, con simboli ISO-ANSI da tastiera o UTF8 da Copia/Incolla.
Se in una mia risposta c'è qualcosa che non t'è chiaro metti un commento, sotto la mia risposta, fatto come questo: @exProf nella prima riga e di seguito dici quale punto non t'è chiaro e che cos'ha che te lo rende non chiaro. Capirai che scrivere che non t'è chiara la risposta non mi fornisce un gran che d'informazione.
Il commento di Sofia02 è un ottimo esempio
«non riesco a capire cosa c'è scritto
* 3*(3^n >= n) ≡ 3^(n + 1) >= 3*n >= n + 1
* (3*n >= n + 1) & (n >= 1) ≡
≡ (n >= 1/2) & (n >= 1) ≡ VERO
QED»
a cui posso rispondere puntualmente.
1) Il simbolo "*" a inizio riga marca un item di un elenco puntato.
2) Il simbolo "≡" è l'operatore d'equivalenza.
3) Il simbolo "&" è l'operatore "ET" di congiunzione logica fra affermazioni, ovvero di intersezione fra gl'insiemi che le affermazioni descrivono.
4) La stringa "3*(3^n >= n) ≡" (15 battute) è un'abbreviazione per "moltiplicando membro a membro per tre la disequazione 3^n >= n si ottiene la disequazione equivalente" (101 battute).
5) La stringa "QED" è un'abbreviazione per "quod erat demonstrandum" cioè «ciò che si doveva dimostrare» ed è un simbolo internazionale per indicare che la tesi è stata dimostrata.
6) "se per caso me lo potresti fare gentilmente sul foglio", non ostante la forma cortese, è una frase oggettivamente offensiva perché scrivendola il Richiedente tenta di arrogarsi una facoltà del Resposnsore. Il gioco delle parti è: tu scrivi una domanda come ti pare; io leggo ciò che hai scritto e, se mi pare, scrivo una risposta come pare a me. Se però tu specifichi come dev'essere fatta la mia risposta (o quando, se scrivi "urgente") non stai più chiedendo un favore, mi stai dando un ordine e cioè mi stai offendendo: è come se usassi i verbi all'imperativo!

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