Matematica

Ciao,

una funzione f(x) definita nel dominio D si dice pari se, per ogni x appartenente al dominio, f(-x)=f(x) e cioè se il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'asse delle ascisse. 

Data quindi una funzione parametrica f(x)=x^4+ax^2+bx+c , determino i 3 parametri imponendo 3 vincoli:

1)la simmetria rispetto all'asse delle ascisse;

2)il passaggio per il punto (-1,0);

3)il passaggio per il punto (0,3).

 

 

1)x^4+ax^2+bx+c=(-x)^4+a(-x)^2+b(-x)+c

2b=0

b=0

 

2)(-1)^4+a(-1)^2+c=0

a+c+1=0

 

3)(0)^4+a(0)^2+c=3

c=3

 

risolvendo il sistema di 3 equazioni in 3 incognite, determino l'espressione della funzione finale:

a=-4

b=0

c=3

 

f(x)=x^4-4x^2+3

 

ciao 😀

Essendo una funzione polinomiale (razionale intera) se vogliamo che sia pari ogni monomio che la costituisce deve essere di grado pari:

Quindi b=0 

y = x^4 + a·x^2 + c

Poi bisogna imporre il passaggio per i punti dati (-1, 0)  e (0, 3)

{0 = (-1)^4 + a·(-1)^2 + c

{3 = 0^4 + a·0^2 + c

Quindi sistema lineare in a e c:

{a + c = -1

{c = 3

per cui: [a = -4 ∧ c = 3]-----> y = x^4 - 4·x^2 + 3

 

Sicuramente b deve essere 0 perché altrimenti bx rovina la simmetria pari

Poi c deve essere 3 perché per i polinomi il valore in x = 0 é il termine noto

Quindi y = x^4 + ax^2 + 3

e 0 = 1 + a + 3

da cui a = -4

e quindi

y = x^4 - 4x^2 + 3

In questo genere di problemi che richiedono di determinare N parametri incogniti di modo che una qualche espressione soddisfaccia ad alcune condizioni, tutt'è vedere se il modello matematico delle condizioni riesca a generare N equazioni indipendenti da cui ottenere i valori richiesti.
In questo caso all'equazione parametrica
* y(a, b, c) = x^4 + a*x^2 + b*x + c
si chiede di passare per i punti X(- 1, 0) e Y(0, 3) e da queste due condizioni si traggono i vincoli
* (0 = (- 1)^4 + a*(- 1)^2 + b*(- 1) + c) & (3 = 0^4 + a*0^2 + b*0 + c) ≡
≡ (c = 3) & (0 = a - b + 1 + 3) ≡
≡ (c = 3) & (b = a + 4)
da cui
* y(a) = x^4 + a*x^2 + (a + 4)*x + 3
Su questa forma semplificata si deve applicare il vincolo che modella la condizione d'essere pari, cioè che la parte dispari sia zero: a + 4 = 0 ≡ a = - 4.
Infine si ha
* y = x^4 - 4*x^2 + 3 = (x^2 - 2)^2 - 1 = (x - √3)*(x - 1)*(x + 1)*(x + √3)