Due semicirconferenze che hanno diametri $\overline{A B}=\overline{B C}=2 r$ giacciono nello stesso semipiano e sono tangenti esternamente in B. Presi i punti $P$ sulla prima e $Q$ sulla seconda in modo che $P \widehat{B Q}=45^{\circ}$, calcola $x=P \widehat{B} A$ in modo che:
$$
\begin{aligned}
& \overline{B Q}+\sqrt{2} \overline{P B}=\frac{\sqrt{3}}{2} \overline{A B} \\
& \qquad\left[x=\frac{\pi}{12} \vee x=\frac{5}{12} \pi\right]
\end{aligned}
$$
432
punti
Livello 1
Facendo riferimento alla figura
$Q\hat{B} C= 180 -45 -x = 135 - x$
$BQ = 2r\cdot cos(135 -x)$
$PB = 2r\cdot cos(x)$
Quindi si ha
$2rcos(135-x) + \sqrt{2} \cdot 2r cos{x} = \sqrt {3}/2 \cdot2r$
Semplificando il termine $2r$ si ottiene
$cos(135-x) + \sqrt{2} \cdot cos(x) = \sqrt {3}/2 $
$cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$
$cos(135-x) = -cos(x)\dfrac{\sqrt{2}}{2} + sin(x)\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
L'espressione finale diventa
$-cos(x)\dfrac{\sqrt{2}}{2} + sin(x)\dfrac{\sqrt{2}}{2}+ \sqrt{2} \cdot cos(x) = \sqrt {3}2 $
Le limitazioni sono $x \in [0, 90[$
$cos(x)\dfrac{\sqrt{2}}{2} + sin(x)\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt {3}}/{2} $
$cos(x) + sin(x) = \dfrac{\sqrt {3}}{\sqrt{2}} $
L'equazione si risolve in diversi modi
Equazioni lineari in seno e coseno (youmath.it)
La cosa più facile da fare è trasformare una funzione in un'altra.
$cos(x) = sin(x+ \pi /2)$, allora l'equazione diventa
$sin(x + \pi/2) + sin(x) = \sqrt{3/2}$
Sappiamo che
$sin(a+b) + sin(a-b) =2sin(a)cos(b)$.
Mettendo a sistema $a+b = x+\pi /2$ e $a-b = x$, si ottiene $a = x+\pi/4$ e $b=\pi/4$
Che si semplifica in
$\sqrt{2}sin(x+ \pi/4) = \sqrt{3/2}$
$sin(x+ \pi/4) = \sqrt{3}/2$
Soluzioni: $x = \pi/12 $ o $x = 5\pi/12$.
2842
punti
Livello 5
