a. Verifica che le rette $r$ e $s$, rispettivamente con le equazioni parametriche $\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=1-t \text { e } \\ z=t\end{array}\right.$ incidenti.
b. Determina le equazioni parametriche della retta passante per il punto $P(1 ; 2 ; 1)$ e incidente le rette $r$ e $s$.
c. Scrivi l'equazione cartesiana del piano $\pi$ passante per $Q(0 ; 2 ;-3)$ e contenente $r$.
433
punti
Livello 1
{x = t
{y = 1 - t
{z = t
Se essa è incidente la retta:
{x = 4 + 2·k
{y = -1 - k
{z = 2 + k
Troviamo i valori di t e di k che portano ad uno stesso punto dello spazio. A tal fine consideriamo le prime due di ognuno dei due sistemi e poi verifichiamo la coincidenza con il valore della z.
{t = 4 + 2·k
{1 - t = -1 - k
Risolvo ed ottengo: [k = -2 ∧ t = 0]
verifichiamo la quota z:
t = 2 + k-----> 0 = 2 + (-2)----> 0 = 0 OK!!
Determiniamo le equazioni parametriche della retta passante per il punto:
P [1, 2, 1] ed incidente le rette r ed s, ossia passante per [0, 1, 0]
Quindi:
{x = 1 + (1 - 0)·t
{y = 2 + (2 - 1)·t
{z = 1 + (1 - 0)·t
Otteniamo:
{x = t + 1
{y = t + 2
{z = t + 1
Scrivi l'equazione cartesiana del piano π passante per [0, 2, -3] e contenente r:
A tal fine determiniamo su r due punti ponendo: t=0 e t=1:
r:
{x = t
{y = 1 - t
{z = t
per t=0----> [0, 1, 0]
per t=1--->[1, 0, 1]
Quindi piano: a·x + b·y + c·z + d = 0 per i tre punti suddetti:
{a·0 + b·2 + c·(-3) + d = 0
{a·0 + b·1 + c·0 + d = 0
{a·1 + b·0 + c·1 + d = 0
Risolvo quindi:
{2·b - 3·c + d = 0
{b + d = 0
{a + c + d = 0
ed ottengo:
[a = - 2·d/3 ∧ b = -d ∧ c = - d/3]
(- 2·d/3)·x + (-d)·y + (- d/3)·z + d = 0
per d=-3 ottengo:
2·x + 3·y + z - 3 = 0
78598
punti
Genius II
